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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
------=-*
Ce résultat est évident en écrivant les composantes de grad f puis celles de
rot~. Il suffit alors d'appliquer le théorème de Schwarz (théorème 3.43
p. 103).
Notons qu'il n'est pas nécessaire que l'ouvert U soit étoilé pour qu'on ait ce
résultat.
Ce lemme permet de démontrer un des sens de l'équivalence énoncée dans le
théorème, mais la démonstration de l'autre sens nécessite des outils qui dépassent
le cadre de cet ouvrage.
O
3.9.6 L'opérateur Nabla
Nous introduisons dans ce§ une notation qui n'est pas rigoureuse, mais qui a le
mérite d'unifier un peu les trois sortes de dérivations de champs que sont le gradient,
la divergence et le rotationnel. Elle fournit aussi une aide mnémotechnique.
On pose V=
â
âx
â . (on lit « Nabla »)
ây
â
âz
Avec cette convention, sans que l'on ait vraiment défini quel type d'objet est ce
Nabla, on remarque que formellement, on a:
Pour le Gradient :
Si f est un champ scalaire, grad) =V f, en acceptant que multiplier l'espèce de
vecteur qu'est V par le scalaire f, c'est «multiplier» ou plutôt composer chaque
coordonnée de V par f.
Pour la Divergence :
Si V est un champ vectoriel, alors on a div V = V · V. Dans cette expression,
· représente le produit scalaire. On « multiplie » donc (ou plutôt on compose)
les trois « coordonnées » de V avec les coordonnées correspondantes de V et on
additionne ces trois « produits ».