3,9 OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS
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pour le Rotationnel :
Si V est un champ vectoriel, alors on a ~ = îj /\ V. Dans cette expression, /\
représente le produit vectoriel, dont l'expression est dans une base orthonormée :
1~
y' 1
(~)A(~)
z'
1 z z' 1
(yz' -Yz)
=
X
X 1
zx' - z'x .
xy' - x'y
X
X 1
y y'
On a donc bien, formellement
â
âR âQ
- - -
âx
A (i)
ây
âz
î;J/\v=
â
âP âR
=~.
= - - -
ây
âz
âx
â
âQ âP
- - -
âz
âx ây
Pour le Laplacien
On obtient facilement, pour un champ scalaire f,
f:l.f = îj (î;J f).
On note formellement ce résultat
Interprétation du lemme « rot(grad) »
Le résultat du lemme 3.87 s'écrit, avec le Nabla :
îj /\ (îj !) =o.
C'est un résultat « évident » si on se rappelle que le produit vectoriel de deux
vecteurs colinéaires est nul ; or, îj et îj f sont « clairement » des vecteurs colinéaires
puisque leurs composantes sont respectivement
â
âf
âx
â
ây
â
et
âx
âf
ây
âf
; le coefficient
âz
âz
de proportionnalité est donc f. (Encore une fois, nous ne prétendons pas que tout
ceci soit rigoureux).