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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
3.10 Exercices
3.2 Compréhension des définitions
Exercice 3.1. Démontrer en appliquant la définition, que la fonction f(x, y) ==
2 + x - 2y admet -3 comme limite quand (x, y) tend vers (-3; 1). Expliciter en
fonction de ê une valeur possible du réel 'f/ de la définition pour chacune des trois
normes Il · lloo, Il · 112 et Il · Ili·
Exercice 3.2. Démontrer en appliquant la définition, que la fonction de ~ 3 vers
~ 2 définie par
f(x, y, z) = ( x ~ ~ ;z 2 z ) admet ( ~ 3 ) comme limite quand (x, y, z) tend vers
(1, -1, 2). Après avoir choisi une norme dans d'espace de départ et une autre dans
l'espace d'arrivée, expliciter en fonction de ê une valeur possible du réel 'f/ de la
définition.
3.4 Détermination pratique de limites
Exercice 3.3. Étudier l'existence d'une éventuelle limite pour X
fonctions :
(x + y)2
1. f(x,y) = 2
2
X +y
x4y2
3.f(x,y)= 4
2
X +y
x3 +y3
5.f(x,y)= 2
2
X +y
7 !(
) = sin 4 x + (1-cosy) 2 .
. x, y
4x4 + y4
'
!( ) _ 1- cos..JXY
9. x,y -
.
y
x+y3
2. f(x,y) = 2
2
X +y
jxyl°'
4. f(x, y)= Jx2 + y2
sinxy
6. f(x,y) = 2
4
X +y
Jx4 + y4
8. f(x, y) = (x2 + y2)a
xy
10. f(x,y) = - - - - -
lx cosy+ IYI cosx
---+ 0 des
11 !(
) = ysinx - xsiny
. x,y
x2 + y2
12. f(x,y) = 1 + x2 + Jf+Y2 - 2
.
x2 + y2
1 - cosxy
13. f(x,y) = 2
2
X +xy+y
15 !(
) = sin(x 2 ) + sin(y 2 )
. x,y
(x2 + y2yl!
14 f(
) = smxy - xy
. x,y
x2 + y2
16. f(x, y) = lxl°' ln(x 2 + y 2 )
Exercice 3.4. Soit fla fonction des deux variables x, y définie par
{
f(x,y) = Mexp (-M)
x2
x2
f(O,y)=O
si X :f Ü