3,10 EXERCICES
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1. Étudier la limite de f(x(t),y(t)) lorsque (x(t),y(t)) est une paramétrisation
d'une droite passant par l'origine, t étant choisi pour que le point (x, y) =
(x(t), y(t)) se rapproche de (0, 0). On montrera que quelle que soit la droite
(horizontale, verticale ou oblique), cette limite est nulle.
2. Montrer qu'il est possible de trouver un chemin (x(t), y(t)) passant par (0, 0)
tel que f(x(t), y(t)) ait une valeur constante non nulle. Quelle est la conclusion?
3.5 Dérivées partielles
Exercice 3.5.
Après avoir donné un domaine dans lequel il n'y a pas de problème de dérivabilité,
calculer les dérivées partielles du premier ordre ~~ et ~~ des fonctions suivantes.
x+y
1. f(x,y) = -
x-y
3. f(x, 71) =tan(;)
5. f(x, y) = xxy 2
7. f(x, y) = ln(x + J x2 - y2)
9. f(x, y)= Jxcosy
11. f(x, y) = (x2 + y2)e-xy
1
13. f(x,y) =
/i
1 + !!!. y
x2
Y
15. f(x,y) = - - 2
y
X
17. f(x,y) = xY
19. f(x,y) = arcsin (~)
21. f(x,y) =ch - - ·
( xy + 1)
xy-1
Exercice 3.6.
(l+x
2. t(x, y)= y 1+Y
4. f(x, y)= ln(;)
6. f(x, y) ~ ln(y + ix 2 + y 2 )
8. f(x, y) = sin 2 (;
y
10. f(x,y) = J 2 2
l+x +y
12. f(x, y) = J_sin(x2 + y2)
x2 -y2
14.f(x,y)= 2
2
X +y
16 f(
) - Jx2-y2
. x,y -e
X
18. f(x, y)= JXEili xy
y
20. f(x,y) =ln J 2 2
y -x
Soit f(x, y) = arccos ( 1 -)~y
) ; après avoir déterminé les ensembles de
J 1 + x2 1 + y2 ·
définition, de continuité et de dérivabilité de f, calculer les dérivées partielles de
f et en déduire une expression plus simple de f(x, y).