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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE ~P VERS ]Rn
Exercice 3.7.
Après avoir donné un ensemble ouvert le plus grand possible dans lequel il n'y a
pas de problème de dérivabilité, calculer les dérivées partielles du premier ordre
af
af . .
1 d' . ,
. 11 d
d d a2 f a21 a2 f a21
~ et ~ amsI que es envees partie es u secon or re !'l 2 , !'l 2 , ~, ~
uX
uy
uX uy uxuy uyâx'
des fonctions suivantes.
1. f(x, y) =ln
y
3. f(x, y) = J2xy + y 2
5. f(x, y)= Jx2 + y2
"'
7. f(x, y)= e"Y
Exercice 3.8.
2. J(x, y) = ln(x 2 +y) ;
x+y
4. f(x, y, z) =arctan - 1 - - ;
-xy
1
6. f(x, y)= - -
ex teY
8. f(x,y,z) = - +_Y +-z ·
yz zx xy
1. Déterminer toutes les fonctions f des deux variables x et y, dérivables par
rapport à x sur un domaine U telles que pour tout ( x, y) E U, on a
âf
âx(x,y)=O.
2. Déterminer toutes les fonctions f des deux variables x et y, dérivables par
rapport à y sur un domaine U telles que pour tout (x, y) EU, on a
âf
ây(x,y) =0.
3. Déterminer toutes les fonctions f des deux variables x et y, deux fois dérivables
sur un domaine U telles que pour tout (x, y) EU, on a
a 2 1
âxây (x, y)= O.
Exercice 3.9.
Soit f la fonction de deux variables définie par :
{
f(x, y) = xy(x 2 - y
2 )
pour (x, y) =/= (0, 0)
x2 +y2
f(O,O) = 0
a 2 1
a 2 J
Calculer âxây (0, 0) et âyâx (0, 0). Que peut-on en déduire?