3,10 EXERCICES
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E:x:ercice 3.10.
Calculer la dérivée de la fonction F(t) = f(x(t),y(t)) (ou f(x(t),y(t),z(t))
lorsque:
1 f(x, y) =arctan'#._ ; x(t) =cos t - sin t ; y(t) =cos t +sin t; qu'en déduit-on?
•
X
2. f(x, y) = ' #. _ + ~ ; x(t) = et
2 +1 ; y(t) = t 2 + 1
X
y
3. f(x,y,z) = xyz; x(t) = t 2 +1; y(t) = lnt; z(t) =tant
E:x:ercice 3.11.
Déterminer les éventuels extremums locaux de la fonction f définie par :
1. f ( x, y) = x 2 - xy + y 2 - 3y
2. f(x,y) =x4+y4-2(x-y)2
3. f(x, y) = x 2 - 6xy + y 4 - 20y + 8x + 2
4. f(x,y) = 2x 2 - 2x(eY -y+ 1) + e 2 Y + (y-1) 2
5. f(x, y)= x 2 y 3 + 3x 3 y 3 + 2x 2 y 4
3.7 - 3.8 Différentiabilité
Exercice 3.12.
Soit f une forme linéaire sur ~.2. Montrer que f est différentiable en tout (xo, Yo) E
IR 2 et que df(xo,yo) = f.
Exercice 3.13. On se place dans ~ 2 .
1. Étudier la différentiabilité de la fonction N2 (norme euclidienne).
2. Étudier la différentiabilité de la fonction N1 (norme somme).
3. Étudier la différentiabilité de la fonction N00 (norme du max).
Exercice 3.14.
Étudier la différentiabilité des fonctions f définies sur ~ 2 par :
1. { f(x, y) = :: ~ ~: pour (x, y) # (0, 0)
f(O,O) = 0
2. { f(x, y)= (x2 + y2) sin ( vx21+ y2)
f(O,O) = 0
pour (x, y) # (0, 0)