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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
Exercice 3.15.
On considère la fonction f : JR. 3 f-7 JR. 3 , qui est définie par
(
x+y2 +z)
f(x, y, z) =
xy 2 z
x 2 z + xy
Justifier la différentiabilité de f, préciser sa différentielle et sa matrice jacobienne.
Peut-on calculer le Jacobien de f?
Exercice 3.16.
On pose J(x, y, z) = (x + y 2 , xy 2 z) et g(u, v) = (u 2 + v, uv, ev).
Justifier la différentiabilité de f et de g, calculer les différentielles de f, de g, de
go f et de f o g (pour ces deux dernières fonctions, on utilisera deux méthodes).
Exercice 3.17.
On considère l'équation aux dérivées partielles à résoudre sur le demi-plan P :
x>O
( t') 2xy ~~ + ( 1 + y 2 ) ~~ = 0
pour laquelle il est suggéré d'utiliser le changement de variables x = u
2 ; v
2
u
y=-.
V
Étude du changement de variables
1. Montrer qu'il existe une application c.p : (u, v) f-7 (x, y), d'un domaine D de ~ 2
que l'on précisera vers le demi-plan P, correspondant au changement de variables
suggéré et que cette application est bijective et de classe C 1 .
2. Pour toute fonction f définie sur P, on pose F = f o c.p. Donner l'expression des
dérivées partielles de F par rapport aux variables u et v en fonction des dérivées
partielles de f.
3. En inversant le système obtenu à la question précédente, en déduire que pour
tout couple (x,y) = c.p(u,v) de P, on a
{
8f
1
( 8F
{)F
)
8x (x, y)= u2 + v2 u 8u (u, v) + v 8v (u, v)
8f
v 2 ( {)F
8F
)
- 8 (x,y) = 2
2 v -
8 (u,v) - u -
8 (u,v)
y
U +v
U
V