3, 10 EXERCICES
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Retour à l'équation (&)
4. Montrer que les fonctions f solutions de ( &) sont les fonctions qui peuvent
s'écrire sous la forme
f(x,y) = g ( J 1 !xy')
g étant une fonction de classe ci définie sur JR.*:t5. Déterminer la solution de (&) qui vérifie en plus
af
1
'V(x, y) E p ax (x, y)= 1 + y2
et f(l,O) = 2
Exercice 3.18.
Pour résoudre l'équation aux dérivées partielles
28! - {)f = 0
ax
{)y
il est suggéré d'utiliser le changement de variable u = x +y et v = x + 2y. En
vous inspirant de la démarche proposée dans l'exercice précédent, et en détaillant
chacune des étapes du raisonnement, résoudre cette équation aux dérivées partielles,
c'est-à-dire déterminer toutes les fonctions de deux variables f qui vérifient cette
équation en tout ( x, y) de IR. 2 .
Exercice 3.19.
Lorsque deux résistances Ri et R2 sont montées en parallèle, la résistance équivalente Rest donnée par la formule : R = R RiR~ . Comment varie R lorsque Ri
i + 2
et R2 varient respectivement de l:iRi et l:iR2 (petits devant Ri et R2)?
Application numérique : Ri = 40f!; R2 = 63f!; l:iRi = -0,lf!; l:iR2 = 0,2f!
(vérifier par un calcul exact).
Exercice 3.20.
1 C 1 1 1 d , . ,
. 11 d
.
d {) f
{) f
89
89 d
. a eu er es envees partie es u premier or re ax et {)y et ax et {)y e
a) f(x, y) = x 3 - 3xy 2 ;
x2 -y2
b)f(x,y)=
2+ 2;
X
y
9(x, y)= 3x 2 y - y 3
2xy
9(x, y)= x2 + y2
x 3 - 3xy 2
3x 2 y - y 3
c) f(x, y)= Jx2 + y2 ; 9(x, y)= Jx2 + y2
2.a), 2.b) et 2.c), Retrouver ces résultats dans chaque cas en utilisant des coordonnées polaires.