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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
3.9 Opérateurs différentiels
Exercice 3.21.
1. Soit f une fonction des trois variables x, y, z, à valeurs dans JR. 3 , de classe C 1 (!
est un champ vectoriel) et 'l/; : (r, e, z) 1--t (x, y, z) étant l'application changement
de variables en coordonnées cylindriques, on considère F = f o ' l/J.
Exprimer en fonction des dérivées partielles de F par rapport à r, e et z la
divergence de la fonction f en un point (x,y,z) = 'l/;(r,O,z) (expression de la
divergence en coordonnées cylindriques).
2. Même question pour l'expression de la divergence en coordonnées sphériques.
Exercice 3.22.
Démontrer la formule suivante qui donne l'expression du Laplacien en polaires
(pour une fonction de deux variables)
rPi'
1 ai'
1 a 2 i'
tl.F(x,y) = tl.F(rcosO,rsinO) = or 2 (r,O) + r or (r,O) + r 2 002 (r,O)
On précisera toutes les hypothèses, et la signification de F.
Exercice 3.23.
f, g étant des champs scalaires, et Û et V des champs vectoriels, trouver et
démontrer les formules donnant l'expression de
1. graJ (f g)
2. graJ (Û ·V)
3. div(f Û)
4. rot(JÛ).