CHAPITRE 4
Intégrale curviligne. Longueur d'une courbe
4.1 Introduction
4.1.1 Notions abordées
Nous traiterons d'abord, dans ce chapitre, de la notion d'intégrale curviligne,
aussi appelée intégrale le long d'un chemin, ou circulation d'un vecteur. Après
avoir rappelé ce que sont les formes différentielles et les champs de vecteurs,
deux aspects d'une même notion, ou si on préfère deux notions équivalentes,
nous apprendrons à les intégrer le long d'un arc de courbe paramétrée, et nous
montrerons l'invariance par rapport à la paramétrisation choisie. Nous traiterons
ensuite le cas fondamental où le champ vectoriel dérive d'un potentiel (est un
champ de gradients), ou ce qui revient au même, la forme différentielle est exacte.
Ensuite, par anticipation avec le chapitre suivant, nous expliquerons comment
l'intégrale curviligne peut servir à calculer l'aire d'une partie du plan.
Pour finir nous étudierons une intégrale curviligne particulière, celle qui permet de
calculer la longueur d'un arc de courbe (lorsque c'est possible) et nous parlerons
un tout petit peu d'abscisse curviligne, de courbure, et d'intégrale curviligne d'une
fonction scalaire.
4.1.2 Cadre de cette étude
Nous nous placerons systématiquement dans JR 2 , considéré comme étant le plan,
rapporté à un repère orthonormé. Cette étude est aussi valable dans l'espace, (dans
1. 3 ), et il suffit dans ce cas de rajouter une troisième coordonnée. Les vecteurs
seront désignés par des majuscules surmontés d'une flèche. Les composantes du
vecteur X seront notées ( x, y).
On n'utilisera que la norme euclidienne, et Il · Il désignera donc toujours cette
norme euclidienne. Nous utiliserons aussi le produit scalaire naturel de JR 2 , défini
ainsi :
Si X= (x, y) et~= (x', y'), alors X·~= xx' + yy'.
Intégrale curviligne. Longueur d'une courbe
4.1 Introduction
4.1.1 Notions abordées
Nous traiterons d'abord, dans ce chapitre, de la notion d'intégrale curviligne,
aussi appelée intégrale le long d'un chemin, ou circulation d'un vecteur. Après
avoir rappelé ce que sont les formes différentielles et les champs de vecteurs,
deux aspects d'une même notion, ou si on préfère deux notions équivalentes,
nous apprendrons à les intégrer le long d'un arc de courbe paramétrée, et nous
montrerons l'invariance par rapport à la paramétrisation choisie. Nous traiterons
ensuite le cas fondamental où le champ vectoriel dérive d'un potentiel (est un
champ de gradients), ou ce qui revient au même, la forme différentielle est exacte.
Ensuite, par anticipation avec le chapitre suivant, nous expliquerons comment
l'intégrale curviligne peut servir à calculer l'aire d'une partie du plan.
Pour finir nous étudierons une intégrale curviligne particulière, celle qui permet de
calculer la longueur d'un arc de courbe (lorsque c'est possible) et nous parlerons
un tout petit peu d'abscisse curviligne, de courbure, et d'intégrale curviligne d'une
fonction scalaire.
4.1.2 Cadre de cette étude
Nous nous placerons systématiquement dans JR 2 , considéré comme étant le plan,
rapporté à un repère orthonormé. Cette étude est aussi valable dans l'espace, (dans
1. 3 ), et il suffit dans ce cas de rajouter une troisième coordonnée. Les vecteurs
seront désignés par des majuscules surmontés d'une flèche. Les composantes du
vecteur X seront notées ( x, y).
On n'utilisera que la norme euclidienne, et Il · Il désignera donc toujours cette
norme euclidienne. Nous utiliserons aussi le produit scalaire naturel de JR 2 , défini
ainsi :
Si X= (x, y) et~= (x', y'), alors X·~= xx' + yy'.