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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
4.1.3 Nature des problèmes
On considère un arc de courbe d'origine A, d'extrémité B. (Cela suppose bien
sûr que l'on a choisi un sens de parcours). On procède comme pour la définition
de l'intégrale d'une fonction : on subdivise cet arc en un grand nombre de petits
arcs, en plaçant des points Mi entre A et B, sur l'arc. Classiquement, on posera
A= Mo et B =Mn, si les points Mi entre A et B sont numérotés de 1 à n -1.
Les points Mi sont supposés tellement rapprochés que la courbe entre Mi-l et
Mi peut presque être considérée comme un segment de droite. Dans ce cadre, on
se pose deux problèmes.
F(M.)
1
F(A
M.I 1(4.1)
Le premier problème-est celui de la longueur de la courbe entre A et B. Assez
naturellement, on se dit que cette longueur ne doit pas être très différente de la
somme des longueurs des n segments [Mi_1Mi]. Quelle signification mathématique
donner à cette intuition ?
Le deuxième problème est issu de la physique : si on dispose d'un champ de
vecteurs défini dans un ouvert U contentant la courbe AB, par exemple un champ
de forces P, quel est le travail de ces forces le long de cet arc ?
Le travail d'une force constante Fa, le long d'un segment de droite PQ, parcouru
de P vers Q est facile à calculer : c'est le produit scalaire de Fa par PQ :
W=Fb·PQ.
Mais lorsque la force est variable selon la position où on se place (cas d'un champ
de forces), si en plus le trajet n'est pas rectiligne, comment calculer ce travail?
L'idée est de considérer que le résultat ne doit pas être très différent de ce qu'on
obtiendrait si on considère que le trajet est droit entre Mi-1 et Mi, et que ces
deux points sont suffisamment proches pour qu'on puisse considérer que la force
n'a pas changé le long du trajet entre ces deux points; comme on a un champ
de forces, cette force est P (Mi) en Mi. Le travail le long du trajet entre A et
B ne doit donc pas être très différent de la somme des n travaux Wi de la force
P (Mi-1) sur le trajet rectiligne de Mi-1 à Mi.
n
n
w ~ L:: wi = L:: -P (Mi-1) · Mi-1d.
i=l
i=l
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
4.1.3 Nature des problèmes
On considère un arc de courbe d'origine A, d'extrémité B. (Cela suppose bien
sûr que l'on a choisi un sens de parcours). On procède comme pour la définition
de l'intégrale d'une fonction : on subdivise cet arc en un grand nombre de petits
arcs, en plaçant des points Mi entre A et B, sur l'arc. Classiquement, on posera
A= Mo et B =Mn, si les points Mi entre A et B sont numérotés de 1 à n -1.
Les points Mi sont supposés tellement rapprochés que la courbe entre Mi-l et
Mi peut presque être considérée comme un segment de droite. Dans ce cadre, on
se pose deux problèmes.
F(M.)
1
F(A
M.I 1(4.1)
Le premier problème-est celui de la longueur de la courbe entre A et B. Assez
naturellement, on se dit que cette longueur ne doit pas être très différente de la
somme des longueurs des n segments [Mi_1Mi]. Quelle signification mathématique
donner à cette intuition ?
Le deuxième problème est issu de la physique : si on dispose d'un champ de
vecteurs défini dans un ouvert U contentant la courbe AB, par exemple un champ
de forces P, quel est le travail de ces forces le long de cet arc ?
Le travail d'une force constante Fa, le long d'un segment de droite PQ, parcouru
de P vers Q est facile à calculer : c'est le produit scalaire de Fa par PQ :
W=Fb·PQ.
Mais lorsque la force est variable selon la position où on se place (cas d'un champ
de forces), si en plus le trajet n'est pas rectiligne, comment calculer ce travail?
L'idée est de considérer que le résultat ne doit pas être très différent de ce qu'on
obtiendrait si on considère que le trajet est droit entre Mi-1 et Mi, et que ces
deux points sont suffisamment proches pour qu'on puisse considérer que la force
n'a pas changé le long du trajet entre ces deux points; comme on a un champ
de forces, cette force est P (Mi) en Mi. Le travail le long du trajet entre A et
B ne doit donc pas être très différent de la somme des n travaux Wi de la force
P (Mi-1) sur le trajet rectiligne de Mi-1 à Mi.
n
n
w ~ L:: wi = L:: -P (Mi-1) · Mi-1d.
i=l
i=l