4.2 INTÉGRALE D'UNE FONCTION VECTORIELLE
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Quelle signification mathématique donner à cette approximation, et comment
remplacer ce ~ par une égalité ?
C'est en fait par ce deuxième problème que nous allons commencer, en définissant
l'intégrale curviligne. Auparavant, nous allons « régler son compte » à une notion
en fait très simple, et cependant nouvelle : l'intégration d'une fonction continue
de ~ vers ~n, ce qui ne présente aucune difficulté en passant par les fonctions
coordonnées.
Nous aurons besoin ensuite de préciser la notion d'arc paramétré de classe C 1 .
4.2 Intégrale d'une fonction vectorielle
Définition 4.1 Soit f une fonction de ~ vers ~n, dont les fonctions composantes
sont (!1, .. ·, fn)·
Alors f est intégrable sur un intervalle [a, b] inclus dans l'ensemble de définition
de f si et seulement si toutes ses fonctions composantes le sont.
L'intégrale de f sur l'intervalle [a, b] est un vecteur de ~n, dont les composantes
sont les intégrales sur [a, b] des fonctions composantes de f. On note
1b J(t) dt= (1b fi(t) dt, ... , 1b fn(t) dt).
L'intégrale d'une fonction vectorielle possède presque toutes les propriétés de l'intégrale des fonctions scalaires, par exemple, la propriété de linéarité de l'intégrale,
la relation de Chasles, et on a en particulier
Proposition 4.2 Soit f une fonction de~ vers ~n, dont les fonctions composantes sont (!1, ... , fn)· Si f est continue sur un intervalle [a, b] inclus dans son
ensemble de définition, alors f est intégrable sur [a, b] et si Fest une primitive
quelconque de f (c'est-à-dire une fonction telle que F' = f : on passe par les
composantes!), on a
1
b f(t) dt= [F(t)t = F(b) - F(a).
a
a
Si f est continue sur un intervalle I, si a E I, alors la fonction vectorielle qui
associe à tout t E Ile vecteur 1t f(r) dr est une primitive de f; c'est l'unique
primitive F de f qui est telle que F(a) =O.
En revanche, la positivité de l'intégrale (propriété qui s'écrit, pour a < b, si f ; ; : : : 0
alors 1b f(t) dt;;::: 0) n'a pas de sens pour une fonction vectorielle.
Il existe cependant une propriété analogue à un des corollaires de la positivité qui
était l'inégalité 1b g(t) dt[ ~ 1b lg(t)I dt, valable pour une fonction g à valeurs
dans~.
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Quelle signification mathématique donner à cette approximation, et comment
remplacer ce ~ par une égalité ?
C'est en fait par ce deuxième problème que nous allons commencer, en définissant
l'intégrale curviligne. Auparavant, nous allons « régler son compte » à une notion
en fait très simple, et cependant nouvelle : l'intégration d'une fonction continue
de ~ vers ~n, ce qui ne présente aucune difficulté en passant par les fonctions
coordonnées.
Nous aurons besoin ensuite de préciser la notion d'arc paramétré de classe C 1 .
4.2 Intégrale d'une fonction vectorielle
Définition 4.1 Soit f une fonction de ~ vers ~n, dont les fonctions composantes
sont (!1, .. ·, fn)·
Alors f est intégrable sur un intervalle [a, b] inclus dans l'ensemble de définition
de f si et seulement si toutes ses fonctions composantes le sont.
L'intégrale de f sur l'intervalle [a, b] est un vecteur de ~n, dont les composantes
sont les intégrales sur [a, b] des fonctions composantes de f. On note
1b J(t) dt= (1b fi(t) dt, ... , 1b fn(t) dt).
L'intégrale d'une fonction vectorielle possède presque toutes les propriétés de l'intégrale des fonctions scalaires, par exemple, la propriété de linéarité de l'intégrale,
la relation de Chasles, et on a en particulier
Proposition 4.2 Soit f une fonction de~ vers ~n, dont les fonctions composantes sont (!1, ... , fn)· Si f est continue sur un intervalle [a, b] inclus dans son
ensemble de définition, alors f est intégrable sur [a, b] et si Fest une primitive
quelconque de f (c'est-à-dire une fonction telle que F' = f : on passe par les
composantes!), on a
1
b f(t) dt= [F(t)t = F(b) - F(a).
a
a
Si f est continue sur un intervalle I, si a E I, alors la fonction vectorielle qui
associe à tout t E Ile vecteur 1t f(r) dr est une primitive de f; c'est l'unique
primitive F de f qui est telle que F(a) =O.
En revanche, la positivité de l'intégrale (propriété qui s'écrit, pour a < b, si f ; ; : : : 0
alors 1b f(t) dt;;::: 0) n'a pas de sens pour une fonction vectorielle.
Il existe cependant une propriété analogue à un des corollaires de la positivité qui
était l'inégalité 1b g(t) dt[ ~ 1b lg(t)I dt, valable pour une fonction g à valeurs
dans~.