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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Proposition 4.3 Soit f une fonction continue de ~ vers ~n, dont les fonctions
composantes sont (fi, ... , fn)· Si a< b sont deux réels dans un même intervalle
inclus dans le domaine de définition de f, si Il · Il est une norme sur ~n, alors
ll1b f(t) dtll ~ 1b llf(t)ll dt. 1
Preuve Nous ne donnerons de cette propriété qu'une démonstration partielle,
dans le cas où Il · Il représente la norme euclidienne, et lorsqu'on est en dimension
3. No~ admettrons le r~ultat dans les autres cas.
Soit V = J: f(t) dt. Si V est le vecteur nul 0, le résultat est clairement acquis,
puisque le membre de droite est positif par positivité de l'intégrale d'une fonction
scalaire.
Supposons que V # O. Soit ï ~ Il; Il ; ï est un vecteur de norme 1 et il est
possible de trouver une base orthonormée B = (f, f, k), dont le premier vecteur est
justement ce vecteur î.
Nous avons vu que tous les calculs de limites, donc de dérivation, donc de primitivation, donc d'intégration, ne dépendaient pas de la base dans laquelle on se
plaçait. De plus un calcul de norme euclidienne peut se faire dans n'importe quelle
base orthonormée. On se placera donc dans la base B pour la suite des calculs et
des raisonnements, et nous appellerons (h, h, fs) les fonctions coordonnées de f
dans la base B.
On doit montrer l'inégalité A ~ B avec A = llVll = ll1b f(t) dtll et B =
1b llf(t)ll dt.
Intéressons-nous d'abord à A. En calculant avec les fonctions coordonnées, on a:
v = 1b t(t) dt
= 1b (h(t)ï + h(t)j + fs(t)k) dt
= (1b h(t) dt) î+ (1b h(t) dt) f + (1b is(t) dt) k.
Mais ï a justement été choisi pour que les coordonnées de V dans la base B soient
(llVll, 0, 0). Donc
V= llVllï +Of+ Ok.
1 Remarquons que dans cette formule, l'intégrale intervenant dans le membre de gauche est
l'intégrale d'une fonction de R dans R, puisque \:/t, on a llf(t)ll ER
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Proposition 4.3 Soit f une fonction continue de ~ vers ~n, dont les fonctions
composantes sont (fi, ... , fn)· Si a< b sont deux réels dans un même intervalle
inclus dans le domaine de définition de f, si Il · Il est une norme sur ~n, alors
ll1b f(t) dtll ~ 1b llf(t)ll dt. 1
Preuve Nous ne donnerons de cette propriété qu'une démonstration partielle,
dans le cas où Il · Il représente la norme euclidienne, et lorsqu'on est en dimension
3. No~ admettrons le r~ultat dans les autres cas.
Soit V = J: f(t) dt. Si V est le vecteur nul 0, le résultat est clairement acquis,
puisque le membre de droite est positif par positivité de l'intégrale d'une fonction
scalaire.
Supposons que V # O. Soit ï ~ Il; Il ; ï est un vecteur de norme 1 et il est
possible de trouver une base orthonormée B = (f, f, k), dont le premier vecteur est
justement ce vecteur î.
Nous avons vu que tous les calculs de limites, donc de dérivation, donc de primitivation, donc d'intégration, ne dépendaient pas de la base dans laquelle on se
plaçait. De plus un calcul de norme euclidienne peut se faire dans n'importe quelle
base orthonormée. On se placera donc dans la base B pour la suite des calculs et
des raisonnements, et nous appellerons (h, h, fs) les fonctions coordonnées de f
dans la base B.
On doit montrer l'inégalité A ~ B avec A = llVll = ll1b f(t) dtll et B =
1b llf(t)ll dt.
Intéressons-nous d'abord à A. En calculant avec les fonctions coordonnées, on a:
v = 1b t(t) dt
= 1b (h(t)ï + h(t)j + fs(t)k) dt
= (1b h(t) dt) î+ (1b h(t) dt) f + (1b is(t) dt) k.
Mais ï a justement été choisi pour que les coordonnées de V dans la base B soient
(llVll, 0, 0). Donc
V= llVllï +Of+ Ok.
1 Remarquons que dans cette formule, l'intégrale intervenant dans le membre de gauche est
l'intégrale d'une fonction de R dans R, puisque \:/t, on a llf(t)ll ER