4.2 INTÉGRALE D'UNE FONCTION VECTORIELLE
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En comparant avec le calcul précédent, on obtient que
donc on a
et
(on a appliqué ici le corollaire de la positivité de l'intégrale d'une fonction scalaire
signalé plus haut.)
Maintenant il est clair que pour tout t E [a, b], on a
Toujours par positivité de l'intégrale des fonctions scalaires, on en déduit, puisque
a< b, que
(4.3)
[b -
[b
la lfi (t)i dt:( la llJ(t)ll dt= B ;
et mettant bout à bout les inégalités (4.2) et (4.3), on obtient bien A:( B.
D
Cas des fonctions complexes
Nous avons vu au chapitre 2 que ce cas n'est qu'un point de vue particulier pour
les fonctions à valeurs dans ~ 2 • L'écriture dans ce point de vue des définitions et
propriétés ci-dessus est cependant intéressante.
Si f est une fonction à valeurs complexes, si x est la partie réelle de f et y sa
partie imaginaire, on a
1b f(t) dt= (1b x(t) dt) + i (1b y(t) dt) .
De même, le corollaire de la positivité s'écrit
ce qui est exactement la même formule que pour une fonction réelle, sauf qu'ici l · I
désigne le module d'un nombre complexe (izl = la+ ibl = Ja 2 + b 2 ) qui coïncide
avec la norme euclidienne dans ~ 2 •