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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
4.3 Arcs paramétrés orientés
Avant de nous lancer dans la définition d'une intégrale curviligne, c'est-à-dire le
long d'une courbe, il est intéressant de commencer par préciser ce qu'on entend
par arc paramétré orienté, et comment on peut changer de paramétrisation.
Dans tout ce §, nous ne parlons que de courbes planes, mais on pourrait étendre
sans grande difficulté tout cela à des dimensions supérieures.
L'idée sous-jacente est qu'un arc paramétré orienté est un morceau de courbe
associé à plusieurs paramétrisations ayant des points communs. D'un point de
vue cinématique, on impose les points suivants :
• le sens de parcours doit être le même ;
• les arrêts, s'il y en a doivent se faire au même endroit (on préfère d'ailleurs qu'il
n'y ait pas d'arrêt, c'est-à-dire pas de point stationnaire);
• il ne doit pas y avoir de retour en arrière (ou alors on doit toujours faire les
mêmes retours en arrière au mêmes endroits) ;
• on souhaite qu'il y ait une certaine régularité.
Une courbe est, elle, éventuellement associée à plusieurs arcs paramétrés orientés.
On peut en effet changer le sens de parcours, varier les arrêts, faire des allersretours ...
Mathématiquement, c'est assez difficile à définir, car un arc paramétré est en toute
rigueur une classe d'équivalence de paramétrisations pour une certaine relation
d'équivalence.
Définition 4.4 On appelle paramétrisation de classe ci toute application de
classe ci d'un intervalle [a, b] vers JR 2 .
Une paramétrisation est donc en toute rigueur un couple P = (I, f) formé d'un
intervalle I fermé borné et d'une application vectorielle f dont l'ensemble de
définition contient I et qui est de classe ci.
On dit que deux paramétrisations de classe ci : Pi = ([a, b], f) et P2 = ([a, ,B], g)
sont équivalentes (on note Pi = P2) lorsqu'il existe une bijection croissante [a, b] sur [a, ,B] qui vérifie les propriétés suivantes :
• • g o Énonçons tout d'abord une propriété permettant de vérifier simplement que deux
paramétrisations sont équivalentes.
Proposition 4.5 Soient ([a, b], f) et ([a, ,B], g) deux paramétrisations de classe
ci. Ces deux paramétrisations sont équivalentes si et seulement si il existe une
fonction réelle • [a, b] est inclus dans le domaine de définition de cp.
•
• Vt E [a, b] O.
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
4.3 Arcs paramétrés orientés
Avant de nous lancer dans la définition d'une intégrale curviligne, c'est-à-dire le
long d'une courbe, il est intéressant de commencer par préciser ce qu'on entend
par arc paramétré orienté, et comment on peut changer de paramétrisation.
Dans tout ce §, nous ne parlons que de courbes planes, mais on pourrait étendre
sans grande difficulté tout cela à des dimensions supérieures.
L'idée sous-jacente est qu'un arc paramétré orienté est un morceau de courbe
associé à plusieurs paramétrisations ayant des points communs. D'un point de
vue cinématique, on impose les points suivants :
• le sens de parcours doit être le même ;
• les arrêts, s'il y en a doivent se faire au même endroit (on préfère d'ailleurs qu'il
n'y ait pas d'arrêt, c'est-à-dire pas de point stationnaire);
• il ne doit pas y avoir de retour en arrière (ou alors on doit toujours faire les
mêmes retours en arrière au mêmes endroits) ;
• on souhaite qu'il y ait une certaine régularité.
Une courbe est, elle, éventuellement associée à plusieurs arcs paramétrés orientés.
On peut en effet changer le sens de parcours, varier les arrêts, faire des allersretours ...
Mathématiquement, c'est assez difficile à définir, car un arc paramétré est en toute
rigueur une classe d'équivalence de paramétrisations pour une certaine relation
d'équivalence.
Définition 4.4 On appelle paramétrisation de classe ci toute application de
classe ci d'un intervalle [a, b] vers JR 2 .
Une paramétrisation est donc en toute rigueur un couple P = (I, f) formé d'un
intervalle I fermé borné et d'une application vectorielle f dont l'ensemble de
définition contient I et qui est de classe ci.
On dit que deux paramétrisations de classe ci : Pi = ([a, b], f) et P2 = ([a, ,B], g)
sont équivalentes (on note Pi = P2) lorsqu'il existe une bijection croissante [a, b] sur [a, ,B] qui vérifie les propriétés suivantes :
• • g o Énonçons tout d'abord une propriété permettant de vérifier simplement que deux
paramétrisations sont équivalentes.
Proposition 4.5 Soient ([a, b], f) et ([a, ,B], g) deux paramétrisations de classe
ci. Ces deux paramétrisations sont équivalentes si et seulement si il existe une
fonction réelle • [a, b] est inclus dans le domaine de définition de cp.
•