4,3 ARCS PARAMÉTRÉS ORIENTÉS
169
• Vt E [a, b] si
La démonstration de cette propriété est technique, et n'est pas très difficile, mais
n'utilise que des notions d'analyse élémentaire : nous ne la ferons pas. Elle utilise
de façon essentielle les propriétés de la dérivation d'une application réciproque.
Exemple classique :
On considère la paramétrisation Pi = ([O, ~],!)avec f(t) = (cost,sint); on
considère aussi la paramétrisation P2 = ( [O, 1], g) avec g( s) = ( ~ ~ :: , 1 !s s 2 ).
Montrons que ces deux paramétrisations sont équivalentes (que Pi= P2).
La fonction n'y a aucun problème de définition pour est de classe ci' elle admet comme dérivée
O.
On a bien et (gi, g2) les fonctions composantes respectives de f et g, on a si s =tan~' pour
tout t E [O, ~],
1 - s 2
1 - tan 2 i
gi(s) = - - =
2 = cost = fi(t);
1 + s 2 1 + tan 2 i 2
2s
2tan i
92(s) = - - =
2 = sint = h(t);
1 + s 2 1 + tan 2 i 2
donc f(t) = g(s)
D
Théorème 4.6
La relation= entre paramétrisations de classe ci est une relation d'équivalence.
Preuve Il est absolument clair que = est réflexive : il suffit de prendre comme
fonction Montrons la symétrie de =.
Soient Pi = ([a, b], f) et P2 = ([a, ,8], g) deux paramétrisations de classe ci. On
suppose que P 1 = P2. Il existe donc une bijection croissante [a, b] sur [a, ,8], telle que go Il est clair que toutes les propriétés permettant d'affirmer que P2 =Pi.
Établissons maintenant la transitivité de =·
Soient Pi = ([a, b],f), P2 = ([a, ,8], g) et P3 = ([c, d], h) trois paramétrisations de
classe ci. On suppose que Pi = P2 et que P2 = P3. Il existe donc deux fonctions
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• Vt E [a, b] si
n'utilise que des notions d'analyse élémentaire : nous ne la ferons pas. Elle utilise
de façon essentielle les propriétés de la dérivation d'une application réciproque.
Exemple classique :
On considère la paramétrisation Pi = ([O, ~],!)avec f(t) = (cost,sint); on
considère aussi la paramétrisation P2 = ( [O, 1], g) avec g( s) = ( ~ ~ :: , 1 !s s 2 ).
Montrons que ces deux paramétrisations sont équivalentes (que Pi= P2).
La fonction n'y a aucun problème de définition pour est de classe ci' elle admet comme dérivée
On a bien et (gi, g2) les fonctions composantes respectives de f et g, on a si s =tan~' pour
tout t E [O, ~],
1 - s 2
1 - tan 2 i
gi(s) = - - =
2 = cost = fi(t);
1 + s 2 1 + tan 2 i 2
2s
2tan i
92(s) = - - =
2 = sint = h(t);
1 + s 2 1 + tan 2 i 2
donc f(t) = g(s)
D
Théorème 4.6
La relation= entre paramétrisations de classe ci est une relation d'équivalence.
Preuve Il est absolument clair que = est réflexive : il suffit de prendre comme
fonction Montrons la symétrie de =.
Soient Pi = ([a, b], f) et P2 = ([a, ,8], g) deux paramétrisations de classe ci. On
suppose que P 1 = P2. Il existe donc une bijection croissante [a, b] sur [a, ,8], telle que go Il est clair que toutes les propriétés permettant d'affirmer que P2 =Pi.
Établissons maintenant la transitivité de =·
Soient Pi = ([a, b],f), P2 = ([a, ,8], g) et P3 = ([c, d], h) trois paramétrisations de
classe ci. On suppose que Pi = P2 et que P2 = P3. Il existe donc deux fonctions