• [a, b] c V(
•
• Vt E [a,b] 0 et Vs E [a,,6] 'lf;'(s) >O.
• Vt E [a, b] si
Il suffit alors de considérer la fonction 'If; o. Elle est clairement de classe ci.
On a Vt E [a, b],O.
Et finalement, pour tout t E [a, b], posant u ='If; o
En utilisant la proposition 4.5, on a établi que Pi = P3.
0
Définition 4. 7 On appelle arc paramétré (orienté) de classe ci une classe d'équivalence de paramétrisations pour la relation =·
Cette définition est assez compliquée à manier, mais il faut bien comprendre ce
qu'elle signifie. En fait, on ne peut pas parler d'arc paramétré sans donner une
paramétrisation qui est un représentant de cette classe d'équivalence. Géométriquement, un arc paramétré est un morceau d'une courbe, pour lequel on peut
choisir une paramétrisation.
Ce qui est important, c'est la possibilité de changer de paramétrisation, et toutes
les définitions concernant les arcs paramétrés (essentiellement, la notion d'intégrale
curviligne et celle de longueur d'une courbe) devront être suivies d'une propriété
d'invariance si on change la paramétrisation.
Remarquons que si 'Y est un arc paramétré, si Pi = ([a, b], !) est une paramétrisation de'"'(, les points A= f(a) et B = f(b) ne dépendent pas de la paramétrisation
~
choisie, et on note ' Y =AB. Cette notation est très dangereuse, car elle ne précise
rien du tout. Il faut qu'on sache sur quelle courbe paramétrée on se place, dans
quel sens de parcours, etc. En particulier, elle est couramment utilisée pour les
arcs de cercle, mais elle n'est pas réservée à cet usage. A est appelé l'origine de
l'arc, B est son extrémité.
Remarque : On rencontre dans les livres beaucoup d'autres définitions analogues
et parfois contradictoires avec celles que j'ai énoncées (arcs paramétrés, paramétrisations, courbes paramétrées, chemins ... ) . Faites preuve de souplesse, et essayez
surtout de comprendre les idées sous-jacentes à toutes ces notions.
• Vt E [a, b] si
Il suffit alors de considérer la fonction 'If; o
On a Vt E [a, b],
Et finalement, pour tout t E [a, b], posant u ='If; o
En utilisant la proposition 4.5, on a établi que Pi = P3.
0
Définition 4. 7 On appelle arc paramétré (orienté) de classe ci une classe d'équivalence de paramétrisations pour la relation =·
Cette définition est assez compliquée à manier, mais il faut bien comprendre ce
qu'elle signifie. En fait, on ne peut pas parler d'arc paramétré sans donner une
paramétrisation qui est un représentant de cette classe d'équivalence. Géométriquement, un arc paramétré est un morceau d'une courbe, pour lequel on peut
choisir une paramétrisation.
Ce qui est important, c'est la possibilité de changer de paramétrisation, et toutes
les définitions concernant les arcs paramétrés (essentiellement, la notion d'intégrale
curviligne et celle de longueur d'une courbe) devront être suivies d'une propriété
d'invariance si on change la paramétrisation.
Remarquons que si 'Y est un arc paramétré, si Pi = ([a, b], !) est une paramétrisation de'"'(, les points A= f(a) et B = f(b) ne dépendent pas de la paramétrisation
~
choisie, et on note ' Y =AB. Cette notation est très dangereuse, car elle ne précise
rien du tout. Il faut qu'on sache sur quelle courbe paramétrée on se place, dans
quel sens de parcours, etc. En particulier, elle est couramment utilisée pour les
arcs de cercle, mais elle n'est pas réservée à cet usage. A est appelé l'origine de
l'arc, B est son extrémité.
Remarque : On rencontre dans les livres beaucoup d'autres définitions analogues
et parfois contradictoires avec celles que j'ai énoncées (arcs paramétrés, paramétrisations, courbes paramétrées, chemins ... ) . Faites preuve de souplesse, et essayez
surtout de comprendre les idées sous-jacentes à toutes ces notions.