4.3 ARCS PARAMÉTRÉS ORIENTÉS
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4.3.1 Support d'un arc paramétré
Définition 4.8 Soit 1 un arc paramétré de classe C 1 . Soit ([a, b], !) une paramétrisation de I· Le support de 1 est l'ensemble des points X du plan pour lesquels
il existe t E [a, b] tel que X= f(t). Le support de 1 est donc l'ensemble f([a, b]).
Nous admettrons le résultat suivant, pas très difficile à établir, et facile à comprendre:
Proposition 4.9 Le support d'un arc paramétré ne dépend pas de la paramétrisation utilisée.
Il ne faudrait en théorie pas confondre un arc paramétré et son support. Son
support est (avec nos définitions) un morceau de courbe, alors qu'un arc, c'est en
plus le choix d'un sens de parcours, et éventuellement de quelques arrêts et points
où on fait demi-tour ... En pratique, on fait souvent la confusion. Cette confusion
est encore plus justifiée avec la notion d'arc simple, qui interdit les arrêts et les
demi-tours.
Définition 4.10 Un arc paramétré 1 de classe C 1 est un arc simple lorsqu'il
existe une paramétrisation P1 = ([a, b], J) de 1 telle que :
(i) Pour tout t E [a, b], on a f'(t) i- O.
(ii) f réalise une bijection de [a, b] vers le support de I·
Nous admettrons le résultat suivant, qui est très logique :
Proposition 4.11 Si 1 est un arc simple, alors toute paramétrisation P1
([a, b], !) de 1 est telle que les assertions (i) et (ii) sont vérifiées.
La notion d'arc simple est ce qu'il y a de plus naturel en matière d'arc : un
morceau de courbe qui d'un point de vue cinématique est parcouru une seule fois
sans arrêt, (sans point stationnaire) est un arc simple. Le morceau de courbe est
le support de cet arc simple, et toute paramétrisation de cet arc simple fournit
une bijection entre un intervalle fermé borné et son support.
4.3.2 Arcs paramétrés de classe C 1 par morceaux
Cette notion est très importante en pratique, car on procède souvent par raccords.
,,--.__
,,--.__
Si 11 =AB et 12 =BC sont deux arcs paramétrés de classe C 1 , on peut considérer
,,--.__
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l'arc 1 = 11V12 correspondant à la mise bout à bout des arcs AB et BC. 1
est encore appelé «arc paramétré», mais on comprend bien qu'en B, qui est
l'extrémité de 11 et l'origine de 12, il y a éventuellement moins de régularité, il
Y a par exemple un angle. On dit que 1 est un arc paramétré de classe C 1 par
morceaux. On peut bien sûr itérer le procédé, et on a la définition :
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4.3.1 Support d'un arc paramétré
Définition 4.8 Soit 1 un arc paramétré de classe C 1 . Soit ([a, b], !) une paramétrisation de I· Le support de 1 est l'ensemble des points X du plan pour lesquels
il existe t E [a, b] tel que X= f(t). Le support de 1 est donc l'ensemble f([a, b]).
Nous admettrons le résultat suivant, pas très difficile à établir, et facile à comprendre:
Proposition 4.9 Le support d'un arc paramétré ne dépend pas de la paramétrisation utilisée.
Il ne faudrait en théorie pas confondre un arc paramétré et son support. Son
support est (avec nos définitions) un morceau de courbe, alors qu'un arc, c'est en
plus le choix d'un sens de parcours, et éventuellement de quelques arrêts et points
où on fait demi-tour ... En pratique, on fait souvent la confusion. Cette confusion
est encore plus justifiée avec la notion d'arc simple, qui interdit les arrêts et les
demi-tours.
Définition 4.10 Un arc paramétré 1 de classe C 1 est un arc simple lorsqu'il
existe une paramétrisation P1 = ([a, b], J) de 1 telle que :
(i) Pour tout t E [a, b], on a f'(t) i- O.
(ii) f réalise une bijection de [a, b] vers le support de I·
Nous admettrons le résultat suivant, qui est très logique :
Proposition 4.11 Si 1 est un arc simple, alors toute paramétrisation P1
([a, b], !) de 1 est telle que les assertions (i) et (ii) sont vérifiées.
La notion d'arc simple est ce qu'il y a de plus naturel en matière d'arc : un
morceau de courbe qui d'un point de vue cinématique est parcouru une seule fois
sans arrêt, (sans point stationnaire) est un arc simple. Le morceau de courbe est
le support de cet arc simple, et toute paramétrisation de cet arc simple fournit
une bijection entre un intervalle fermé borné et son support.
4.3.2 Arcs paramétrés de classe C 1 par morceaux
Cette notion est très importante en pratique, car on procède souvent par raccords.
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Si 11 =AB et 12 =BC sont deux arcs paramétrés de classe C 1 , on peut considérer
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l'arc 1 = 11V12 correspondant à la mise bout à bout des arcs AB et BC. 1
est encore appelé «arc paramétré», mais on comprend bien qu'en B, qui est
l'extrémité de 11 et l'origine de 12, il y a éventuellement moins de régularité, il
Y a par exemple un angle. On dit que 1 est un arc paramétré de classe C 1 par
morceaux. On peut bien sûr itérer le procédé, et on a la définition :