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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Définition 4.12 On appelle arc paramétré de classe C 1 par morceaux un objet
mathématique ' "Y formé par la mise bout à bout de n arcs paramétrés de classe ci.
Plus précisément, si 11, .. . ,'"'fn sont n arcs paramétrés de classe C 1 tels que pour
tout i E {1, ... , n - 1 }, l'extrémité de ' "Y·i est égale à l'origine de '"Yi+li on dit que
'"'f = '"'fl V··· V '"'fn est un arc paramétré de classe C 1 par morceaux.
De façon assez évidente, on définit le support d'un arc paramétré par morceaux
' "Y = ' "YI V • • • V '"'ln comme étant la réunion des supports des arcs ' "Yi pour i E
{1, ... ,n}.
On définit aussi les arcs simples de classe C 1 par morceaux. Une définition rigoureuse n'est pas facile à énoncer mais décrivons cette notion. Tous les «morceaux»
(d'un arc simple de classe C 1 par morceaux) doivent être simples, et de plus, à
part les points de raccord qui appartiennent à deux arcs, chaque point du support
ne doit appartenir qu'à un seul morceau : l'arc ne doit pas se « recouper ».
4.3.3 Changement d'orientation
Paramétrisations inverses
Définition 4.13 On dit que deux paramétrisations P1 = ([a, b], J) et P2 =
([a, ,B], g), de classe C 1 , sont inverses (on note P1 +-+ P2) lorsqu'il existe une
bijection décroissante • • g o La seule différence entre des paramétrisations équivalentes et des paramétrisations
inverses, c'est le sens de variation de l'application changement de variable Énonçons (sans démonstration) comme pour la définition de l'équivalence, une
propriété caractérisant que deux paramétrisations sont inverses.
Proposition 4.14 Soient ([a,b],f) et ([a,,B],g) deux paramétrisations de classe
C 1 . Ces deux paramétrisations sont inverses si et seulement si il existe une fonction
réelle • [a, b] est inclus dans le domaine de définition de
On établirait facilement (et nous admettrons) que la relation f-t est symétrique;
que si P1 +-+ P2 et P2 +-+ P3, alors on a Pi = P3;
que si P1 = P2 et P2 +-+ P3, alors on a P1 +-+ P3.
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Définition 4.12 On appelle arc paramétré de classe C 1 par morceaux un objet
mathématique ' "Y formé par la mise bout à bout de n arcs paramétrés de classe ci.
Plus précisément, si 11, .. . ,'"'fn sont n arcs paramétrés de classe C 1 tels que pour
tout i E {1, ... , n - 1 }, l'extrémité de ' "Y·i est égale à l'origine de '"Yi+li on dit que
'"'f = '"'fl V··· V '"'fn est un arc paramétré de classe C 1 par morceaux.
De façon assez évidente, on définit le support d'un arc paramétré par morceaux
' "Y = ' "YI V • • • V '"'ln comme étant la réunion des supports des arcs ' "Yi pour i E
{1, ... ,n}.
On définit aussi les arcs simples de classe C 1 par morceaux. Une définition rigoureuse n'est pas facile à énoncer mais décrivons cette notion. Tous les «morceaux»
(d'un arc simple de classe C 1 par morceaux) doivent être simples, et de plus, à
part les points de raccord qui appartiennent à deux arcs, chaque point du support
ne doit appartenir qu'à un seul morceau : l'arc ne doit pas se « recouper ».
4.3.3 Changement d'orientation
Paramétrisations inverses
Définition 4.13 On dit que deux paramétrisations P1 = ([a, b], J) et P2 =
([a, ,B], g), de classe C 1 , sont inverses (on note P1 +-+ P2) lorsqu'il existe une
bijection décroissante • • g o La seule différence entre des paramétrisations équivalentes et des paramétrisations
inverses, c'est le sens de variation de l'application changement de variable Énonçons (sans démonstration) comme pour la définition de l'équivalence, une
propriété caractérisant que deux paramétrisations sont inverses.
Proposition 4.14 Soient ([a,b],f) et ([a,,B],g) deux paramétrisations de classe
C 1 . Ces deux paramétrisations sont inverses si et seulement si il existe une fonction
réelle • [a, b] est inclus dans le domaine de définition de
que si P1 +-+ P2 et P2 +-+ P3, alors on a Pi = P3;
que si P1 = P2 et P2 +-+ P3, alors on a P1 +-+ P3.