4.3 ARCS PARAMÉTRÉS ORIENTÉS
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Arcs inverses
Définition 4.15 Si î'i et î'2 sont deux arcs paramétrés dont les paramétrisations
respectives sont Pi = ([a, b], f) et P2 = ([a, ,8], g), si on a Pi ++ P2, alors on dit
que les arcs î'i et î'2 sont inverses, ou parcourus en sens inverse.
~
Si A = f(a) et B = f(b), on a vu qu'on note î'i =AB. Dans ce cas, puisque
f =go cp, et que
g(a) = g(cp(b)) = f(b) = B, donc il est logique de noter î'2 =BA.
Inverser une paramétrisation revient donc à changer le sens de parcours.
Proposition 4.16 Deux arcs inverses ont même support.
C'est un résultat assez évident dont nous ne formaliserons pas la démonstration.
Proposition 4.17 Si î' est un arc paramétré de classe ci et si î'' est son arc
inverse, si P = ([a, b], f) est une paramétrisation de î', alors les paramétrisations
suivantes sont deux paramétrisations de î''.
• P = ([a, b], Î) avec pour tout t E [a, b], Î(t) = f(a + b - t)
• P = ([-b, -a], f) avec pour tout t E [-b, -a], f(t) = f(-t)
La démonstration de cet énoncé est très simple (voir exercice 4.1)
Pour un arc paramétré construit par morceaux, on définit aussi fort logiquement
un changement d'orientation:
Définition 4.18 Si î' = î'i V··· Vî'n et î'' = î'i V··· Vî'~ sont deux arcs paramétrés
de classe ci par morceaux, on dit que ces arcs sont inverses l'un de l'autre lorsque
• î'i et î'~ sont inverses ;
• î'2 et î'~-i sont inverses;
•
• î'n et î'i sont inverses.
4.3.4 Arcs fermés
Définition 4.19 Un arc paramétré de classe ci (ou de classe ci par morceaux)
est dit fermé lorsque son origine est confondue avec son extrémité.
Définition 4.20 Un arc fermé simple est un arc fermé î' de classe ci pour lequel
il existe une paramétrisation Pi = ([a, b], !) telle que
(i)
quel que soit t E [a, b], on a j'(t) i 0
(ii) -
f réalise une bijection de [a, b[ vers le support de î'-
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Arcs inverses
Définition 4.15 Si î'i et î'2 sont deux arcs paramétrés dont les paramétrisations
respectives sont Pi = ([a, b], f) et P2 = ([a, ,8], g), si on a Pi ++ P2, alors on dit
que les arcs î'i et î'2 sont inverses, ou parcourus en sens inverse.
~
Si A = f(a) et B = f(b), on a vu qu'on note î'i =AB. Dans ce cas, puisque
f =go cp, et que
g(a) = g(cp(b)) = f(b) = B, donc il est logique de noter î'2 =BA.
Inverser une paramétrisation revient donc à changer le sens de parcours.
Proposition 4.16 Deux arcs inverses ont même support.
C'est un résultat assez évident dont nous ne formaliserons pas la démonstration.
Proposition 4.17 Si î' est un arc paramétré de classe ci et si î'' est son arc
inverse, si P = ([a, b], f) est une paramétrisation de î', alors les paramétrisations
suivantes sont deux paramétrisations de î''.
• P = ([a, b], Î) avec pour tout t E [a, b], Î(t) = f(a + b - t)
• P = ([-b, -a], f) avec pour tout t E [-b, -a], f(t) = f(-t)
La démonstration de cet énoncé est très simple (voir exercice 4.1)
Pour un arc paramétré construit par morceaux, on définit aussi fort logiquement
un changement d'orientation:
Définition 4.18 Si î' = î'i V··· Vî'n et î'' = î'i V··· Vî'~ sont deux arcs paramétrés
de classe ci par morceaux, on dit que ces arcs sont inverses l'un de l'autre lorsque
• î'i et î'~ sont inverses ;
• î'2 et î'~-i sont inverses;
•
• î'n et î'i sont inverses.
4.3.4 Arcs fermés
Définition 4.19 Un arc paramétré de classe ci (ou de classe ci par morceaux)
est dit fermé lorsque son origine est confondue avec son extrémité.
Définition 4.20 Un arc fermé simple est un arc fermé î' de classe ci pour lequel
il existe une paramétrisation Pi = ([a, b], !) telle que
(i)
quel que soit t E [a, b], on a j'(t) i 0
(ii) -
f réalise une bijection de [a, b[ vers le support de î'-