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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Remarquons la petite subtilité : un arc fermé simple n'est pas un arc simple,
puisque l'extrémité et l'origine sont confondues. Mais à part ce point qui est
« double », tous les autres points ont un seul antécédent par f (quelle que soit la
paramétrisation, d'ailleurs).
Attention, il y a aussi un sens de parcours pour un arc fermé, et on peut changer
son orientation !
Avec un peu de bon sens, vous comprendrez facilement ce qu'est un arc fermé
simple de classe C 1 par morceaux.
4.3.5 Exemples classiques d'arcs paramétrés
Segment de droite
Il est extrêmement important de savoir paramétrer un segment de droite. Pour
être rigoureux, on va en fait donner des paramétrisations pour un arc dont le
support est un segment [AB]. On privilégiera les solutions pour lesquelles A est
l'origine et B est l'extrémité.
Première solution : (cas général)
Un point M est élément du segment [AB] si et seulement si il est barycentre de
A et de B affectés de coefficients positifs. Comme on peut s'arranger pour que
la somme des coefficients soit toujours égale à 1, on prendra t et 1 - t comme
coefficients, avec t et 1 - t positifs, donc t E [O, 1]. Mais pour t = 0, on doit être
en A, donc on choisira M barycentre de A(l - t) et B(t). Puisqu'alors, on sait
que OM = (1 - t)oA + toB, on peut en déduire en passant aux coordonnées que
si M = M(t) = f(t) a pour coordonnées (x(t), y(t)), on a
{ x(t) = (1- t)XA + txB
y(t) = (1 - t)yA + tyB
t E [O, lj,
qui nous donne une paramétrisation du segment [AB] de A vers B.
Deuxième solution (segment horizontal ou vertical) :
Si [AB] est un segment horizontal, c'est que YA =YB = YO· Posons pour simplifier
A= (a, yo) et B = (b, yo). Supposons dans un premier temps que a< b. Dans ce
cas, une paramétrisation très simple de l'arc simple dont le support est [AB] est
{
x(t) = t
y(t) = Yo
t E [a, bj.
Si on a a > b, il est plus compliqué de paramétrer [AB] de A vers B, et on a
intérêt à utiliser la paramétrisation inverse du segment [BA] (de B vers A)
{ x(t)=t
y(t) = Yo
t E [b,aj.
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Remarquons la petite subtilité : un arc fermé simple n'est pas un arc simple,
puisque l'extrémité et l'origine sont confondues. Mais à part ce point qui est
« double », tous les autres points ont un seul antécédent par f (quelle que soit la
paramétrisation, d'ailleurs).
Attention, il y a aussi un sens de parcours pour un arc fermé, et on peut changer
son orientation !
Avec un peu de bon sens, vous comprendrez facilement ce qu'est un arc fermé
simple de classe C 1 par morceaux.
4.3.5 Exemples classiques d'arcs paramétrés
Segment de droite
Il est extrêmement important de savoir paramétrer un segment de droite. Pour
être rigoureux, on va en fait donner des paramétrisations pour un arc dont le
support est un segment [AB]. On privilégiera les solutions pour lesquelles A est
l'origine et B est l'extrémité.
Première solution : (cas général)
Un point M est élément du segment [AB] si et seulement si il est barycentre de
A et de B affectés de coefficients positifs. Comme on peut s'arranger pour que
la somme des coefficients soit toujours égale à 1, on prendra t et 1 - t comme
coefficients, avec t et 1 - t positifs, donc t E [O, 1]. Mais pour t = 0, on doit être
en A, donc on choisira M barycentre de A(l - t) et B(t). Puisqu'alors, on sait
que OM = (1 - t)oA + toB, on peut en déduire en passant aux coordonnées que
si M = M(t) = f(t) a pour coordonnées (x(t), y(t)), on a
{ x(t) = (1- t)XA + txB
y(t) = (1 - t)yA + tyB
t E [O, lj,
qui nous donne une paramétrisation du segment [AB] de A vers B.
Deuxième solution (segment horizontal ou vertical) :
Si [AB] est un segment horizontal, c'est que YA =YB = YO· Posons pour simplifier
A= (a, yo) et B = (b, yo). Supposons dans un premier temps que a< b. Dans ce
cas, une paramétrisation très simple de l'arc simple dont le support est [AB] est
{
x(t) = t
y(t) = Yo
t E [a, bj.
Si on a a > b, il est plus compliqué de paramétrer [AB] de A vers B, et on a
intérêt à utiliser la paramétrisation inverse du segment [BA] (de B vers A)
{ x(t)=t
y(t) = Yo
t E [b,aj.