4,3 ARCS PARAMÉTRÉS ORIENTÉS
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Nous verrons que ce n'est pas bien gênant pour calculer une intégrale curviligne.
De même, pour un segment [CD] vertical, si C = (xo, c) et D = (xo, d), sic< d,
une paramétrisation simple de l'arc simple dont le support est [CD], orienté de C
vers D est
{ x(t) = xo
y(t) = t
t E [c, d].
et sic> d, c'est le segment [DC], orienté de D vers C qui est facile à paramétrer
par
{ x(t) = xo
y(t) = t
t E [d,c].
Troisième solution (cas d'un segment d'une droite connue par son équation
cartésienne réduite) :
Soit b.. une droite dont on connaît l'équation cartésienne réduite y= mx + p (ce
qui suppose que b.. n'est pas verticale).
Soit A le point de b.. qui a a pour abscisse et B celui qui a b pour abscisse. On
suppose a < b.
Alors une paramétrisation simple et naturelle de l'arc simple dont le support est
le segment [AB] orienté de A vers B est
Arc de cercle
{
x(t) =t
y(t)=mt+p
t E [a,b].
Classiquement, on a vu qu'une paramétrisation de l'arc fermé simple dont le
support est le cercler de centre n, de rayon p , et dont l'origine et l'extrémité est
le point A = (xn + p, yo) (le plus à droite de f) est
{
x(t) = xn + pcost
()
.
t E [0,27r].
y t = Yn + psmt
En jouant sur les bornes de l'intervalle, on modifiera les bornes de l'arc, mais
il sera toujours parcouru dans le sens trigonométrique. Si on rencontre un arc
parcouru dans le sens indirect (le sens des aiguilles d'une montre), on a deux
solutions : la première et la plus sage consiste à considérer l'arc inverse, qui lui est
parcouru dans le « bon» sens; la deuxième (plus dangereuse) consiste à utiliser
une paramétrisation du type
{
x(t) = xn + pcos(-t) = xn + pcost
y(t) = Yn + psin(-t) = Yn - psin t
t E [a, b],
en réfléchissant bien au choix des bornes a et b pour bien partir et arriver où on
le souhaite.