176
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
4.4 Intégrale curviligne
4.4.1 Avertissement
L'intégrale curviligne que l'on va définir est une intégrale très spéciale : il ne s'agit
pas ici d'intégrer une fonction, mais on va intégrer soit une forme différentielle,
soit un champ vectoriel.
Le domaine d'intégration sera toujours un arc paramétré, notion que l'on vient de
définir.
Rappelons qu'une forme différentielle w = P dx + Q dy est une application définie
sur un ouvert U de JR 2 à valeurs dans le dual (JR 2 )* de JR 2 (c'est-à-dire l'ensemble
des formes linéaires sur JR 2 , qui sont les applications linéaires de JR 2 vers JR), qui
associe à tout élément X = (x, y) E U la forme linéaire w(X) sur JR 2 dont la
matrice est (P(x,y) Q(x,y)). Pour tout (h,k) E JR 2 , on a
w(X)(h, k) = (P(x, y) Q(x, y)) (~) = P(x, y) h + Q(x, y) k.
Un champ vectoriel F est lui une fonction définie sur un ouvert U de JR 2 , à valeurs
dans JR 2 . L'équivalence entre les deux points de vue vient de ce que si (P, Q) sont
les composantes de F. On notera d'ailleurs plutôt en colonne: F = ( ~).
Pour tout X= (x,y) EU, F(X) est un vecteur et pour tout vecteur VE JR 2 , on
peut faire le produit scalaire de F (X) par V = ( ~).
F(x). -v = (~~~:~n. (~) = P(x,y)h+Q(x,y)k.
Donc, à partir d'un champ vectoriel Fou d'une forme différentielle w de mêmes
composantes Pet Q (rappelons que ces fonctions composantes sont des fonctions
scalaires de deux variables), on obtient finalement le même résultat lorsqu'on
calcule w(X)(V) et F(X) ·V, ceci quel que soit XE U et quel que soit VE JR. 2 .
Nous utiliserons ces deux points de vue lors des calculs d'intégrale curviligne.
Une dernière précaution : nous ne considérerons que des formes différentielles et
des champs vectoriels continus (en fait, on aime mieux, d'ailleurs, qu'ils soient de
classe ci), c'est-à-dire que les fonctions de deux variables pet Q doivent être des
fonctions continues (ou mieux : de classe ci.
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
4.4 Intégrale curviligne
4.4.1 Avertissement
L'intégrale curviligne que l'on va définir est une intégrale très spéciale : il ne s'agit
pas ici d'intégrer une fonction, mais on va intégrer soit une forme différentielle,
soit un champ vectoriel.
Le domaine d'intégration sera toujours un arc paramétré, notion que l'on vient de
définir.
Rappelons qu'une forme différentielle w = P dx + Q dy est une application définie
sur un ouvert U de JR 2 à valeurs dans le dual (JR 2 )* de JR 2 (c'est-à-dire l'ensemble
des formes linéaires sur JR 2 , qui sont les applications linéaires de JR 2 vers JR), qui
associe à tout élément X = (x, y) E U la forme linéaire w(X) sur JR 2 dont la
matrice est (P(x,y) Q(x,y)). Pour tout (h,k) E JR 2 , on a
w(X)(h, k) = (P(x, y) Q(x, y)) (~) = P(x, y) h + Q(x, y) k.
Un champ vectoriel F est lui une fonction définie sur un ouvert U de JR 2 , à valeurs
dans JR 2 . L'équivalence entre les deux points de vue vient de ce que si (P, Q) sont
les composantes de F. On notera d'ailleurs plutôt en colonne: F = ( ~).
Pour tout X= (x,y) EU, F(X) est un vecteur et pour tout vecteur VE JR 2 , on
peut faire le produit scalaire de F (X) par V = ( ~).
F(x). -v = (~~~:~n. (~) = P(x,y)h+Q(x,y)k.
Donc, à partir d'un champ vectoriel Fou d'une forme différentielle w de mêmes
composantes Pet Q (rappelons que ces fonctions composantes sont des fonctions
scalaires de deux variables), on obtient finalement le même résultat lorsqu'on
calcule w(X)(V) et F(X) ·V, ceci quel que soit XE U et quel que soit VE JR. 2 .
Nous utiliserons ces deux points de vue lors des calculs d'intégrale curviligne.
Une dernière précaution : nous ne considérerons que des formes différentielles et
des champs vectoriels continus (en fait, on aime mieux, d'ailleurs, qu'ils soient de
classe ci), c'est-à-dire que les fonctions de deux variables pet Q doivent être des
fonctions continues (ou mieux : de classe ci.