4,4 INTÉGRALE CURVILIGNE
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4.4.2 Intégrale curviligne d'une forme différentielle
Définition 4.21 Soit 'Y un arc paramétré de classe ci, dont le support est inclus
dans un ouvert U. Soit Pi = ([a, b], f) une paramétrisation de 'Y; soient x et y les
fonctions composantes de f. Soit w = P dx + Q dy une forme différentielle définie
sur U.
On appelle intégrale curviligne de w le long de 'Y et on note i w le nombre réel
i w = i P dx + Q dy = 1b w(f(t))(f'(t)) dt
= 1b (P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)) dt.
Essayons de bien comprendre la signification de w (! ( t)) (!' ( t)) :
f(t) = (x(t), y(t)) est un élément de U, puisque le support de 'Y est inclus dans U.
Puisque w est une forme différentielle sur U, pour f ( t) E U, w (! ( t)) est donc un
élément de (IR 2 )*, c'est-à-dire une forme linéaire sur IR 2 . La matrice de cette forme
linéaire (1 ligne, 2 colonnes) est
(P(f(t)) Q(f(t))) = (P(x(t), y(t)) Q(x(t), y(t))).
or, f'(t) est bien sûr un vecteur de IR 2 , que l'on peut noter en colonne f'(t) =
( x'(t))
y'(t) .
Donc w(f(t))(f'(t)) est l'image du vecteur f'(t) par la forme linéaire w(f(t)).
C'est donc un réel qui vaut
w(f(t)) (f'(t)) = (P(f(t)) Q(f(t))) (::m) =P(x(t), y(t))x'(t)+Q(x(t), y(t))y'(t).
Ce calcul est valable pour tout t dans [a, b]. On définit donc une application
[a, b] --+ IR
t t---t P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t).
Cette application est continue, car fabriquée à partir de fonctions continues ( x' et
y' sont continues parce que 'Y est de classe ci). Il est classique qu'on peut toujours
calculer l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, et cette définition a
donc un sens.
Il reste un point essentiel à vérifier, c'est que cette définition ne dépend pas de la
paramétrisation de 'Y que l'on choisit.
Proposition 4.22 Avec les notations de la définition 4.21, la valeur de l'intégrale
curviligne i w ne dépend pas de la paramétrisation de 'Y.