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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Preuve Il suffit d'établir que si P2 = ([a, ,8], g) est une autre paramétrisation
de 'Y, la valeur de /, w calculée avec P2 est la même que celle calculée plus haut.
N'oublions pas que le fait que P2 soit une autre paramétrisation de ' Y signifie que
Pi= P2.
Il existe donc une application i f> de classe ci telle que
• [a, b] C 'D(ef>)
• a= if>(a) et ,8 = if>(b)
• if>'(t) > 0 pour tout t E [a, b]
• pour tout t E [a, b], si s = if>(t), on a g(s) = f(t).
Rappelons une formule classique : la formule de changement de variable dans une
intégrale:
Si F est une fonction définie sur l'intervalle I ; si cp est une application de classe
ci sur [a, b], et si cp(a) E 1 et cp(a) E J, alors
1
cp(b) F(x) dx = fb F(cp(t))cp'(t) dt.
cp(a)
la
Nous devons comparer la valeur de !, w calculée avec Pi :
A= 1b (P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)) dt,
avec sa valeur calculée avec P2 : (si X et Y sont les fonctions composantes de g)
B = 1: (P(X(s), Y(s))X'(s) + Q(X(s), Y(s))Y'(s)) ds.
Posons F(s) = P(X(s), Y(s))X'(s) + Q(X(s), Y(s))Y'(s). On a donc
1
(b)
B =
F(s) ds.
(a)
D'autre part, puisque pour tout t E [a, b], on a en posant s = if>(t), g(s) = f(t),
en comparant les fonctions composantes, on obtient
X(s) = x(t) = X(if>(t)) donc x'(t) = X'(if>(t))ef>'(t)
et
Y(s) = y(t) = Y(if>(t)) donc y'(t) = Y'(if>(t))ef>'(t).
On en déduit
A= 1b (P(X(if>(t)), Y(if>(t)))X'(if>(t))ef>'(t) + Q(X(if>(t)), Y(if>(t)))Y'(if>(t))if>'(t))dt
= 1b (P(X(if>(t)), Y(if>(t)))X'(if>(t)) + Q(X(if>(t)), Y(if>(t)))Y'(if>(t)) )if>'(t) dt
= 1b F(if>(t))ef>'(t) dt.
Le formule de changement de variable permet de conclure que A = B.
0