4.4 INTÉGRALE CURVILIGNE
179
Cas d'un arc de classe ci par morceaux
( « Relation de Chasles » pour les intégrales curvilignes.)
Définition 4.23 Si 'Y = /i V · · · V /n est un arc de classe ci par morceaux dont le
support est inclus dans un ouvert U sur lequel est définie une forme différentielle
w, alors l'intégrale curviligne de w le long de 'Y est
1 w=Î:1w.
'Y
i=i li
4.4.3 Circulation d'un champ vectoriel
Mathématiquement, il n'y a rien de nouveau dans ce § par rapport au précédent :
seul le point de vue et les notations changent.
Définition 4.24 Soit V un champ vectoriel de composantes P et Q, défini sur
un ouvert U et 'Y un arc paramétré de classe ci dont le support est inclus dans U,
et dont une paramétrisation est Pi = ([a, b], !).
L'intégrale curviligne du champ vectoriel V le long de/, aussi appelée circulation
du champ vectoriel V le long de 'Y est égale à
!, V(M). dM =lb V (f(t)). J'(t) dt
=lb (P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)) dt
(x et y désignent les fonctions composantes de!).
Remarquons tout d'abord que l'intégrale curviligne (ou la circulation) de V=
( ~) le long de ' Y a la même valeur que l'intégrale curviligne le long de ' Y de la
forme différentielle w = P dx + Q dy.
Essayons ici aussi de bien comprendre les notations utilisées dans cette définition :
Tout d'abord, dans le terme le plus à gauche comprenons qu'on n'a qu'une notation
formelle. Elle tente de répondre à la situation de l'introduction : l'intégrale
~nifie physiquement qu'on additionne un grand nombre (une infinité) de termes
V (M) · dM, produits scalaires du vecteur V (M), (imj\}e du point M décrivant
au support de l'arc par le champ V), par le vecteur d , «petit déplacement »
du point M.
Ensuite dans le deuxième terme, « · » désigne bien sûr ici aussi le produit scalaire.
Il s'agit de faire le produit scalaire du vecteur V (f(t)) par le vecteur f'(t).
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Cas d'un arc de classe ci par morceaux
( « Relation de Chasles » pour les intégrales curvilignes.)
Définition 4.23 Si 'Y = /i V · · · V /n est un arc de classe ci par morceaux dont le
support est inclus dans un ouvert U sur lequel est définie une forme différentielle
w, alors l'intégrale curviligne de w le long de 'Y est
1 w=Î:1w.
'Y
i=i li
4.4.3 Circulation d'un champ vectoriel
Mathématiquement, il n'y a rien de nouveau dans ce § par rapport au précédent :
seul le point de vue et les notations changent.
Définition 4.24 Soit V un champ vectoriel de composantes P et Q, défini sur
un ouvert U et 'Y un arc paramétré de classe ci dont le support est inclus dans U,
et dont une paramétrisation est Pi = ([a, b], !).
L'intégrale curviligne du champ vectoriel V le long de/, aussi appelée circulation
du champ vectoriel V le long de 'Y est égale à
!, V(M). dM =lb V (f(t)). J'(t) dt
=lb (P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)) dt
(x et y désignent les fonctions composantes de!).
Remarquons tout d'abord que l'intégrale curviligne (ou la circulation) de V=
( ~) le long de ' Y a la même valeur que l'intégrale curviligne le long de ' Y de la
forme différentielle w = P dx + Q dy.
Essayons ici aussi de bien comprendre les notations utilisées dans cette définition :
Tout d'abord, dans le terme le plus à gauche comprenons qu'on n'a qu'une notation
formelle. Elle tente de répondre à la situation de l'introduction : l'intégrale
~nifie physiquement qu'on additionne un grand nombre (une infinité) de termes
V (M) · dM, produits scalaires du vecteur V (M), (imj\}e du point M décrivant
au support de l'arc par le champ V), par le vecteur d , «petit déplacement »
du point M.
Ensuite dans le deuxième terme, « · » désigne bien sûr ici aussi le produit scalaire.
Il s'agit de faire le produit scalaire du vecteur V (f(t)) par le vecteur f'(t).