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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
L'application t ~V (f(t)) · f'(t) = P(x(t), y(t))x'(t) +Q(x(t), y(t))y'(t) va de R
dans~. et elle est continue sur [a, b] en particulier parce que la paramétrisation est
de classe C 1 ' donc les fonctions composantes de f' qui sont x' et y' sont continues.
On peut donc légitimement l'intégrer entre a et b.
Proposition 4.25 L'intégrale curviligne d'un champ vectoriel le long d'un arc
paramétré ne dépend pas de sa paramétrisation.
La démonstration est exactement calquée sur ce qu'on a fait pour les formes
différentielles; il n'y a d'ailleurs pas lieu de refaire ici une démonstration, puisqu'en
fait on n'a fait que changer de point de vue.
4.5 Propriétés de l'intégrale curviligne
Ces propriétés sont assez proche de celles de l'intégrale d'une fonction : il y
a, comme pour cette intégrale, la linéarité, la relation de Chasles, l'effet d'un
changement d'orientation et un lien avec les primitives. On peut énoncer toutes ces
propriétés pour l'intégrale curviligne de formes différentielles ou pour l'intégrale
curviligne de champs vectoriels. Nous choisirons à chaque fois un des deux points
de vue, mais il peut être intéressant pour le lecteur d'essayer d'énoncer à chaque
fois la traduction dans l'autre point de vue de cette propriété.
Nous supposerons dans une première lecture que tous les arcs paramétrés sont de
classe C 1 , puis nous remarquerons que toutes les propriétés restent valables pour
des arcs de classe C 1 par morceaux.
Proposition 4.26 (Linéarité)
Soient w1 et w2 deux formes différentielles sur un même ouvert U.
Soit 'Y un arc paramétré dont le support est inclus dans U.
Alors pour tous >., µ E ~. on a
La démonstration serait très facile à faire, en utilisant la linéarité de l'intégrale
des fonctions réelles, après avoir traduit ces intégrales curvilignes en utilisant la
définition.
,,........_
,,........_
Proposition 4.27 (Relation de Chasles) Soient 'YI =AB et "12 =BC deux
arcs paramétrés; mettant bout à bout ces deux arcs on pose 'Y= 'YI V "12· Alors
pour toute forme différentielle w définie sur un ouvert contenant le support de "f,
on a
1 w=j w+j w.
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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
L'application t ~V (f(t)) · f'(t) = P(x(t), y(t))x'(t) +Q(x(t), y(t))y'(t) va de R
dans~. et elle est continue sur [a, b] en particulier parce que la paramétrisation est
de classe C 1 ' donc les fonctions composantes de f' qui sont x' et y' sont continues.
On peut donc légitimement l'intégrer entre a et b.
Proposition 4.25 L'intégrale curviligne d'un champ vectoriel le long d'un arc
paramétré ne dépend pas de sa paramétrisation.
La démonstration est exactement calquée sur ce qu'on a fait pour les formes
différentielles; il n'y a d'ailleurs pas lieu de refaire ici une démonstration, puisqu'en
fait on n'a fait que changer de point de vue.
4.5 Propriétés de l'intégrale curviligne
Ces propriétés sont assez proche de celles de l'intégrale d'une fonction : il y
a, comme pour cette intégrale, la linéarité, la relation de Chasles, l'effet d'un
changement d'orientation et un lien avec les primitives. On peut énoncer toutes ces
propriétés pour l'intégrale curviligne de formes différentielles ou pour l'intégrale
curviligne de champs vectoriels. Nous choisirons à chaque fois un des deux points
de vue, mais il peut être intéressant pour le lecteur d'essayer d'énoncer à chaque
fois la traduction dans l'autre point de vue de cette propriété.
Nous supposerons dans une première lecture que tous les arcs paramétrés sont de
classe C 1 , puis nous remarquerons que toutes les propriétés restent valables pour
des arcs de classe C 1 par morceaux.
Proposition 4.26 (Linéarité)
Soient w1 et w2 deux formes différentielles sur un même ouvert U.
Soit 'Y un arc paramétré dont le support est inclus dans U.
Alors pour tous >., µ E ~. on a
La démonstration serait très facile à faire, en utilisant la linéarité de l'intégrale
des fonctions réelles, après avoir traduit ces intégrales curvilignes en utilisant la
définition.
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Proposition 4.27 (Relation de Chasles) Soient 'YI =AB et "12 =BC deux
arcs paramétrés; mettant bout à bout ces deux arcs on pose 'Y= 'YI V "12· Alors
pour toute forme différentielle w définie sur un ouvert contenant le support de "f,
on a
1 w=j w+j w.
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