4,5 PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE CURVILIGNE
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,.........._
De même, si ' Y =AC est un arc paramétré, si B est un point du support de
,.........._
,.........._
l'arc paramétré "(, il existe deux arcs paramétrés "(1 =AB et "(2 =BC tels que
1 ::::: 'YI V "(2 et on a donc le même résultat
!, w = J,l w + 1,2 w.
Comprenons bien la différence entre les deux points de vue : dans le premier
énoncé, on part de deux arcs paramétrés que l'on peut mettre bout à bout; dans
le deuxième, on part d'un seul arc et d'un point de cet arc, et on le coupe en deux.
Le résultat est bien sûr le même dans les deux cas.
Preuve C'est uniquement dans le cas des arcs paramétrés de classe C 1 par
morceaux que la première partie de cet énoncé apporte quelque chose de nouveau,
car sinon, si 'YI et 'Y2 sont des arcs de classe C 1 , on ne fait que retrouver la définition
de l'intégrale curviligne de la forme différentielle w le long de l'arc de classe C 1
par morceaux ' Y = 'YI V "(2.
Nous n'entrerons pas dans les détails mais c'est une espèce d'associativité de V
qui permet de conclure pour "fl et "(2 de classe C 1 par morceaux.
L'intérêt de la deuxième partie est d'autoriser à couper un arc régulier. Nous
supposons que ' Y est de classe C 1 . Il existe donc une paramétrisation P = ([a, c], J)
,.........._
de"(, et puisque par hypothèse ' Y =AC, on a f(a) =A et f(c) = C.
Mais puisque B est un point du support de"(, il existe b E [a, c] tel que f(b) =B.
Considérons les deux paramétrisations P1 = ([a, b], f) et P2 = ([b, c], !). Elles
définissent évidemment des arcs paramétrés respectivement 'YI et "(2, et il est clair
que l'extrémité de 'YI et l'origine de "(2 coïncident : c'est le point B.
On peut donc considérer l'arc C 1 par morceaux "( 1 = 'YI V "(2, et il n'est pas
choquant de considérer que "( 1 ='Y· De toutes façons, on peut appliquer la relation
de Chasles pour les intégrales de fonctions réelles :
!, w = 1c w(f(t))(f'(t)) dt= 1b w(f(t))(f'(t)) dt+ 1c w(f(t))(f'(t)) dt
= J,l w + 1,2 w.
Nous n'étudierons pas le cas où ' Y est de classe C 1 par morceaux, mais tout
fonctionne de la même façon, à quelques précautions près.
D
Une conséquence très importante est donnée par le corollaire suivant.
Corollaire 4.28 Si ' Y et "( 1 sont deux arcs fermés simples de même support et de
même orientation, si w est une forme différentielle définie sur un ouvert contenant
le support commun de ces deux arcs, alors
1 w=1 w.
'Y
'Y'
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De même, si ' Y =AC est un arc paramétré, si B est un point du support de
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l'arc paramétré "(, il existe deux arcs paramétrés "(1 =AB et "(2 =BC tels que
1 ::::: 'YI V "(2 et on a donc le même résultat
!, w = J,l w + 1,2 w.
Comprenons bien la différence entre les deux points de vue : dans le premier
énoncé, on part de deux arcs paramétrés que l'on peut mettre bout à bout; dans
le deuxième, on part d'un seul arc et d'un point de cet arc, et on le coupe en deux.
Le résultat est bien sûr le même dans les deux cas.
Preuve C'est uniquement dans le cas des arcs paramétrés de classe C 1 par
morceaux que la première partie de cet énoncé apporte quelque chose de nouveau,
car sinon, si 'YI et 'Y2 sont des arcs de classe C 1 , on ne fait que retrouver la définition
de l'intégrale curviligne de la forme différentielle w le long de l'arc de classe C 1
par morceaux ' Y = 'YI V "(2.
Nous n'entrerons pas dans les détails mais c'est une espèce d'associativité de V
qui permet de conclure pour "fl et "(2 de classe C 1 par morceaux.
L'intérêt de la deuxième partie est d'autoriser à couper un arc régulier. Nous
supposons que ' Y est de classe C 1 . Il existe donc une paramétrisation P = ([a, c], J)
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de"(, et puisque par hypothèse ' Y =AC, on a f(a) =A et f(c) = C.
Mais puisque B est un point du support de"(, il existe b E [a, c] tel que f(b) =B.
Considérons les deux paramétrisations P1 = ([a, b], f) et P2 = ([b, c], !). Elles
définissent évidemment des arcs paramétrés respectivement 'YI et "(2, et il est clair
que l'extrémité de 'YI et l'origine de "(2 coïncident : c'est le point B.
On peut donc considérer l'arc C 1 par morceaux "( 1 = 'YI V "(2, et il n'est pas
choquant de considérer que "( 1 ='Y· De toutes façons, on peut appliquer la relation
de Chasles pour les intégrales de fonctions réelles :
!, w = 1c w(f(t))(f'(t)) dt= 1b w(f(t))(f'(t)) dt+ 1c w(f(t))(f'(t)) dt
= J,l w + 1,2 w.
Nous n'étudierons pas le cas où ' Y est de classe C 1 par morceaux, mais tout
fonctionne de la même façon, à quelques précautions près.
D
Une conséquence très importante est donnée par le corollaire suivant.
Corollaire 4.28 Si ' Y et "( 1 sont deux arcs fermés simples de même support et de
même orientation, si w est une forme différentielle définie sur un ouvert contenant
le support commun de ces deux arcs, alors
1 w=1 w.
'Y
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