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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
En d'autres termes, pour calculer l'intégrale curviligne d'une forme différentielle
sur un arc fermé simple, on peut choisir librement l'origine.
Preuve simplifiée Le seul cas intéressant est quand l'origine de 'Y' diffère de
l'origine de[, sinon comme ce sont des arcs simples, ils sont confondus. Soit A
l'origine de 'Y et B l'origine de 'Y'· Un petit dessin vous convaincra facilement qu'il
existe deux arcs simples 'Yl et [2 tels que
• ' Y = 'Yl V ' Y2 ;
• [ 1 = ' Y2 V 'Yl ;
~
~
• 'Yl =AB et ' Y2 =BA.
Par relation de Chasles et par commutativité de l'addition, on obtient alors très
facilement
1 W = 1 W + 1 W = 1 W + 1 W = 1 W.
'Y
'Yl
'Y2
'Y2
'Yl
'Y 1
0
Proposition 4.29 (Changement d'orientation) Si ' Y et [ 1 sont deux arcs paramétrés inverses, alors pour toute forme différentielle w définie sur un ouvert
contenant le support commun de ' Y et de 'Y', on a
Un changement d'orientation change donc le signe d'une intégrale curviligne.
Preuve Soit P = ([a, b], f) une paramétrisation respectivement de [, on sait
que P = ([-b, -a], f) est une paramétrisation de [ 1 , avec f(t) = f(-t).
Posons(-b) w(f(t)) (f'(t)) dt.
'Y
la
Jcf>(-a)
On peut appliquer la formule de changement de variable dans une intégrale de
fonction réelle :
i w = J_~b w(f(
1 w=1-a w(f(s))(-f (s)) ds.
'Y
-b
Or, n'oublions pas ce qu'est w(f(s)) : c'est une forme linéaire sur JR 2 , donc pour
tout élément X de lR. 2 , on a w (f( s)) ( - X) = -w (f( s)) (X). En particulier pour
X = f 1 ( s), on a donc w (f ( s)) ( - f' ( s)) = -w (f( s)) (f' ( s))
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
En d'autres termes, pour calculer l'intégrale curviligne d'une forme différentielle
sur un arc fermé simple, on peut choisir librement l'origine.
Preuve simplifiée Le seul cas intéressant est quand l'origine de 'Y' diffère de
l'origine de[, sinon comme ce sont des arcs simples, ils sont confondus. Soit A
l'origine de 'Y et B l'origine de 'Y'· Un petit dessin vous convaincra facilement qu'il
existe deux arcs simples 'Yl et [2 tels que
• ' Y = 'Yl V ' Y2 ;
• [ 1 = ' Y2 V 'Yl ;
~
~
• 'Yl =AB et ' Y2 =BA.
Par relation de Chasles et par commutativité de l'addition, on obtient alors très
facilement
1 W = 1 W + 1 W = 1 W + 1 W = 1 W.
'Y
'Yl
'Y2
'Y2
'Yl
'Y 1
0
Proposition 4.29 (Changement d'orientation) Si ' Y et [ 1 sont deux arcs paramétrés inverses, alors pour toute forme différentielle w définie sur un ouvert
contenant le support commun de ' Y et de 'Y', on a
Un changement d'orientation change donc le signe d'une intégrale curviligne.
Preuve Soit P = ([a, b], f) une paramétrisation respectivement de [, on sait
que P = ([-b, -a], f) est une paramétrisation de [ 1 , avec f(t) = f(-t).
Posons
'Y
la
Jcf>(-a)
On peut appliquer la formule de changement de variable dans une intégrale de
fonction réelle :
i w = J_~b w(f(
1 w=1-a w(f(s))(-f (s)) ds.
'Y
-b
Or, n'oublions pas ce qu'est w(f(s)) : c'est une forme linéaire sur JR 2 , donc pour
tout élément X de lR. 2 , on a w (f( s)) ( - X) = -w (f( s)) (X). En particulier pour
X = f 1 ( s), on a donc w (f ( s)) ( - f' ( s)) = -w (f( s)) (f' ( s))