4,5 PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE CURVILIGNE
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Finalement on obtient donc :
1 w = -1-a w(f(s)) (f (s)) ds = -1 w.
' Y
-b
'Y'
D
Proposition 4.30 (Cas d'un cha~ de gradients) Soit Fun champ scalaire
de classe C 1 sur l'ouvert U. Posant V= gradF, on a pour tout arc paramétré
,.--...
'Y =AB dont le support est inclus dans U,
!, V (M) . dM = F(B) - F(A).
En d'autres termes, si V est un champ de gradients, appelant <~otentiel » (comme
le font les physiciens) une fonction F telle que grad F = V, alors l'intégrale
curviligne de V est égale à la différence entre le potentiel en son extrémité et le
potentiel en son origine.
Preuve D'après les hypothèses, si V= (~),on a P =~:et Q =~:.Soit
,.--...
Pi = ([a, b], f) une paramétrisation d'un arc 'Y =AB. x et y étant les fonctions
composantes de f, considérons la fonction {définie sur [a, b])
' !/; : t f-----t V (f(t)) · f'(t) = P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t).
D'après l'hypothèse, on a donc
âF
âF
'l/;(t) = âx (x(t), y(t))x'(t) + ây (x(t), y(t))y'(t)
On reconnaît alors que'!/; est la dérivée de la fonction '1! : t f-----t F(x(t),y(t)) =
F(f (t)) (voir le théorème 3.40 p. 97).
~~liquons tout cela à la valeur de l'intégrale curviligne le long de 'Y du champ
!, V (M) · dM = 1b (P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)) dt
1
b
b
= a 'l/;(t) dt= [w(t)L = F(f(b)) - F(f(a)) = F(B) - F(A).
D