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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Cet énoncé est à rapprocher de la formule qu'on utilise pour calculer l'intégrale
d'une fonction g sur un intervalle [a, ,B] connaissant une primitive G de g sur cet
intervalle :
1
b
b
a g(T) dT = [c(T)L = G(b) - G(a).
La différence essentielle est que cette méthode consistant à prendre une primitive
est universelle pour les fonctions réelles d'une variable, (on a vu qu'elle marche
aussi pour les fonctions vectorielles d'une seule variable), mais qu'en revanche,
pour une intégrale curviligne, elle ne marche que pour certains champs vectoriels,
comme on l'a vu avec le théorème 3.85 (p. 153); en effet, la plupart des champs
vectoriels n'ont pas de primitive.
Corollaire 4.31 L'intégrale curviligne d'un champ de gradients le long d'un arc
fermé est nulle.
Preuve Si A est l'origine (et donc aussi l'extrémité) de cet arc fermé /, si
V = grad F sur un ouvert U contenant le support de 'Y, alors on a
i V(M). dM = F(A)-F(A) =o.
Remarquons qu'ici il est tout à fait évident que le choix de l'origine de l'arc n'a
aucune incidence sur le résultat.
D
Traduisons ces résultats pour l'intégrale curviligne d'une forme différentielle.
Tout d'abord deux définitions.
Définition 4.32 Une forme différentielle w définie sur un ouvert U de ]Rn est
dite exacte lorsqu'il existe une fonction (den variables) F telle que w = dF. Dans
ce cas on dit que Fest une primitive de w
Définition 4.33 Une forme différentielle w = P dx + Q dy définie sur un ouvert
U de JR. 2 est dite fermée lorsqu'on a ~: = ~~
Une forme différentielle w = P dx + Q dy + R dz définie sur un ouvert U de JR. 3
est dite fermée lorsqu'on a
âQ âR
âR âP
âP âQ
=
âz
ây
= âx'
âx
âz
ây
Remarquons qu'une forme différentielle est fermée si et seulement si le champ
vectoriel ayant les mêmes fonctions composantes a son rotationnel qui est nul.
La traduction du théorème 3.85 et du lemme 3.87 qui ·suit permettent d'énoncer
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Cet énoncé est à rapprocher de la formule qu'on utilise pour calculer l'intégrale
d'une fonction g sur un intervalle [a, ,B] connaissant une primitive G de g sur cet
intervalle :
1
b
b
a g(T) dT = [c(T)L = G(b) - G(a).
La différence essentielle est que cette méthode consistant à prendre une primitive
est universelle pour les fonctions réelles d'une variable, (on a vu qu'elle marche
aussi pour les fonctions vectorielles d'une seule variable), mais qu'en revanche,
pour une intégrale curviligne, elle ne marche que pour certains champs vectoriels,
comme on l'a vu avec le théorème 3.85 (p. 153); en effet, la plupart des champs
vectoriels n'ont pas de primitive.
Corollaire 4.31 L'intégrale curviligne d'un champ de gradients le long d'un arc
fermé est nulle.
Preuve Si A est l'origine (et donc aussi l'extrémité) de cet arc fermé /, si
V = grad F sur un ouvert U contenant le support de 'Y, alors on a
i V(M). dM = F(A)-F(A) =o.
Remarquons qu'ici il est tout à fait évident que le choix de l'origine de l'arc n'a
aucune incidence sur le résultat.
D
Traduisons ces résultats pour l'intégrale curviligne d'une forme différentielle.
Tout d'abord deux définitions.
Définition 4.32 Une forme différentielle w définie sur un ouvert U de ]Rn est
dite exacte lorsqu'il existe une fonction (den variables) F telle que w = dF. Dans
ce cas on dit que Fest une primitive de w
Définition 4.33 Une forme différentielle w = P dx + Q dy définie sur un ouvert
U de JR. 2 est dite fermée lorsqu'on a ~: = ~~
Une forme différentielle w = P dx + Q dy + R dz définie sur un ouvert U de JR. 3
est dite fermée lorsqu'on a
âQ âR
âR âP
âP âQ
=
âz
ây
= âx'
âx
âz
ây
Remarquons qu'une forme différentielle est fermée si et seulement si le champ
vectoriel ayant les mêmes fonctions composantes a son rotationnel qui est nul.
La traduction du théorème 3.85 et du lemme 3.87 qui ·suit permettent d'énoncer