4,6 ÉTUDE D'EXEMPLES
185
proposition 4.34 Si une forme différentielle w est exacte sur un ouvert U, alors
elle est fermée sur cet ouvert.
Si l'ouvert U est étoilé, alors w est exacte si et seulement si elle est fermée.
Lorsqu'une forme différentielle w = P dx + Q dy est fermée (ou ce qui revient au
même lorsque le rotationnel du champ vectoriel V = ( ~) est nul), il est donc
très intéressant de savoir déterminer une fonction F primitive de w (et de V),
c'est-à-dire telle que w = dF (et V = grad F d'après la traduction en termes
«forme différentielle » de la proposition 4.30) :
Proposition 4.35 Si w est une forme différentielle admettant une primitive F
,,......,
sur un ouvert U, si 'Y =AB est un arc dont le support est inclus dans U, alors
!, w = !, dF = F(B) - F(A).
Si de plus 'Y est un arc fermé, alors !, w = O.
Pour déterminer les primitives d'une forme différentielle w fermée sur un ouvert
U étoilé, et qui est donc exacte, remarquons d'abord qu'une telle primitive est
forcément définie à une constante près (à cause de la linéarité de la différentielle
et parce que la différentielle d'une constante est forcément nulle).
Pour déterminer F, on procède ainsi :
Puisqu'on cherche F telle que ~: = P et ~~ = Q, on considère d'abord y
comme une constante et on primitive P en x ; notons que le résultat obtenu est
une fonction définie à une « constante » près, mais y étant considéré comme une
constante, cette constante peut dépendre de y.
Ensuite, on dérive par rapport à y ce qu'on vient d'obtenir, et on compare à Q :
cela permet d'obtenir une équation qui ne doit plus dépendre que de y et qui
permet de trouver la valeur de la « constante » obtenue précédemment.
4.6 Étude d'exemples
Exemple 1 : Soit à calculer l'intégrale curviligne I = !, w de la forme différentielle w = P dx + Q dy le long de l'arc 'Y, lorsque P(x, y) = 2(x +y),
Q(x, y) = 2(x + 2y) et lorsque 'Y est un arc joignant le point A= (1, 0) au point
B = (0, 1) en suivant le· quart du cercle «trigonométrique».
Une méthode normale de calcul consiste à choisir une paramétrisation de 'Y, puis
d'appliquer la définition.
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proposition 4.34 Si une forme différentielle w est exacte sur un ouvert U, alors
elle est fermée sur cet ouvert.
Si l'ouvert U est étoilé, alors w est exacte si et seulement si elle est fermée.
Lorsqu'une forme différentielle w = P dx + Q dy est fermée (ou ce qui revient au
même lorsque le rotationnel du champ vectoriel V = ( ~) est nul), il est donc
très intéressant de savoir déterminer une fonction F primitive de w (et de V),
c'est-à-dire telle que w = dF (et V = grad F d'après la traduction en termes
«forme différentielle » de la proposition 4.30) :
Proposition 4.35 Si w est une forme différentielle admettant une primitive F
,,......,
sur un ouvert U, si 'Y =AB est un arc dont le support est inclus dans U, alors
!, w = !, dF = F(B) - F(A).
Si de plus 'Y est un arc fermé, alors !, w = O.
Pour déterminer les primitives d'une forme différentielle w fermée sur un ouvert
U étoilé, et qui est donc exacte, remarquons d'abord qu'une telle primitive est
forcément définie à une constante près (à cause de la linéarité de la différentielle
et parce que la différentielle d'une constante est forcément nulle).
Pour déterminer F, on procède ainsi :
Puisqu'on cherche F telle que ~: = P et ~~ = Q, on considère d'abord y
comme une constante et on primitive P en x ; notons que le résultat obtenu est
une fonction définie à une « constante » près, mais y étant considéré comme une
constante, cette constante peut dépendre de y.
Ensuite, on dérive par rapport à y ce qu'on vient d'obtenir, et on compare à Q :
cela permet d'obtenir une équation qui ne doit plus dépendre que de y et qui
permet de trouver la valeur de la « constante » obtenue précédemment.
4.6 Étude d'exemples
Exemple 1 : Soit à calculer l'intégrale curviligne I = !, w de la forme différentielle w = P dx + Q dy le long de l'arc 'Y, lorsque P(x, y) = 2(x +y),
Q(x, y) = 2(x + 2y) et lorsque 'Y est un arc joignant le point A= (1, 0) au point
B = (0, 1) en suivant le· quart du cercle «trigonométrique».
Une méthode normale de calcul consiste à choisir une paramétrisation de 'Y, puis
d'appliquer la définition.