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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
[O, ~] ---+ ~2
La ~onction f ·
définit une parame'.
t
f--7 (x(t),y(t)) = (cost,sint)
trisation de 'Y· On aura besoin dans le calcul des valeurs de x'(t) = - sin t et
y'(t) = cost.
On a donc
r12
I = lo (P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)) dt
r12
= lo 2( (x(t) + 2y(t))x'(t) + (x(t) + 2y(t))y'(t) )'dt
r12
= lo 2((cost+sint)(-sint)+(cost+2sint)cost) dt
r12
r12
=2 lo (sintcost+cos 2 t-sin 2 t)dt= lo (sin2t+2cos2t)dt
[ cos 2t
] 7r /2
( -1
)
( 1
)
= - - 2 - +sin2t 0 = - 2 +o - - 2 +o = 1.
Mais une méthode « astucieuse » aurait consisté à remarquer que
âP
âQ
ây (x,y) = 2 = âx (x,y).
w est donc une forme différentielle fermée, ce calcul étant valable sur ~ 2 tout
entier qui est bien sûr étoilé. w est donc une forme différentielle exacte.
Cherchons une fonction F telle que w = dF.
On doit avoir ~: (x, y)= P(x, y)= 2x + 2y. Donc
F(x,y) = j(2x + 2y) dx = x 2 + 2xy + 01.
Cette constante 01 est en fait éventuellement une fonction de y, donc nous écrirons
(c'est beaucoup plus sage)
F(x, y)= j (2x + 2y) dx = x 2 + 2xy + g(y).
Mais on doit avoir aussi ~: (x, y) = Q(x, y) = 2x + 4y. Reportant dans cette
équation l'expression de F que l'on vient d'obtenir, on a
â
ây (x 2 + 2xy + g(y)) = 2x + 4y ~ 2x + g'(y) = 2x + 4y ~ g'(y) = 4y.
Remarquons que comme prévu, x a disparu de cette équation.
g est donc telle que
g(y) = j 4y dy = 2y 2 + 02.