4.6 ÉTUDE D'EXEMPLES
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Cz est ici une « vraie » constante.
Faisant une synthèse de tout cela on a obtenu que les primitives de w, c'est-à-dire
les fonctions F telles que w = dF sont de la forme
F(x, y)= x 2 + 2xy + 2y 2 + 02.
On peut très bien choisir la constante 0 2 nulle, car on a juste besoin d'une
primitive de w (pas de toutes). On obtient alors
I = i w = LBdF = [FJ: = F(B) - F(A) = F(O, 1) - F(l,O) = 2-1=1.
On retrouve évidemment le même résultat.
Exemple 2 : Soit à calculer l'intégrale curviligne I = i V (M) · dM du champ
vectoriel V= ( ~) avec P(x, y) = y 2 + 4xy + 1 et Q(x, y) = 2x 2 + 2xy + x, le
long de l'arc'"'(, qui est l'arc joignant par des segments de droite, dans cet ordre
les points A= (1, 0), B = (0, 1), C = (-1, 1) et retour en A.
(4.4)
'Y est donc un arc fermé simple de classe C 1 par morceaux.
Est-ce que nous avons la chance d'être en présence d'un champ de gradients?
Ona
âP
Ôy (X, y) = 2y + 4x et
âQ
âx ( x, y) = 4x + 2y + 1
Hélas, le rotationnel de V n'est pas nul, donc ce n'est pas un champ de gradients.
Mais on peut quand même être un peu astucieux: on peut remarquer qu'il y a
beaucoup de ressemblances entre ~: et ~~ ; juste 1 de différence! Et d'où vient
ce 1? Du terme x dans Q. Il est donc pertinent de «couper» en deux le champ
vectoriel V et d'utiliser la linéarité :
Posons V = \li + ~, avec \li = ( ~:) = (Y~~~~~ 1 ) et ~ = ( ~~) = ( ~)
On a donc I = i V(M) · dM = i V1(M) · dM + i ~(M) · dM =li+ I2.