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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
.
.
8P1
8Q1
Il est clair, mamtenant, que {)y = {)x ·
Vi est donc un champ de gradients (l'ouvert sur lequel tous ces champs sont définis
est bien sûr ~ 2 ).
Par conséquent li = 0 et I = h.
Cette deuxième intégrale curviligne est bien plus facile à calculer.
On coupe en trois parties l'arc 1 : 1=11 V 12V13 avec
11 est l'arc simple de support le segment [AB] orienté de A vers B,
12 est l'arc simple de support le segment [BC] orienté de B vers C,
13 est l'arc simple de support le segment [CA] orienté de C vers A.
On a donc
I = I2=1~(M).dM=1 V 2(M). dM + 1 ~(M). dM + 1 V 2(M). dM
"Y
/1
12
/3
=J+K+L.
Calcul du premier terme
Une paramétrisation de 11 est
{ x(t) = {1 - t)xA + t XB = 1 - t
y(t) = {1 - t)yA + tyB = t
On a aussi x'(t) = -1 et y'(t) = 1. D'où
tE[O,lj.
J = fo
1 (P2(x(t), y(t))x'(t) + Q2(x(t), y(t))y'(t)) dt= fo
1
{1 - t) dt
= [- {1 - t) 2 ] 1 = !.
2
0
2
Calcul du deuxième terme
Puisque 12 a comme support un segment horizontal, on applique la deuxième
méthode de paramétrisation. Mais l'abscisse de l'origine est supérieure à l'abscisse
de l'extrémité : on a intérêt à utiliser l'arc inverse, qui est ' Y2, l'arc simple de
support [CB] orienté de C vers B.
Une paramétrisation de ' Y2 est
{
x(t) = t
y(t) = 1
Ici, x'(t) = 1 et y'(t) = 0, donc
t E [-1, Oj.
K = - ~ ~(M) · dM = -j
0 [0 x 1 + t x Oj dt= 0.
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-1