4,6 ÉTUDE D'EXEMPLES
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Remarquons que d'un point de vue physique, ce résultat est très logique : avec
l'interprétation du début du chapitre, comme calcul d'un travail, ici la «force»
Vz est verticale, et le segment est horizontal et il est classique que le travail d'une
force perpendiculaire au sens du déplacement soit nul.
Calcul du troisième terme
Nous allons essayer ici la troisième méthode : le segment [CA] est une partie de
la droite ~ dont le coefficient directeur est -! et l'ordonnée à l'origine est !·
L'équation cartésienne réduite de~ est donc y= !(1 - t). On ne garde de cette
droite que la partie entre son point d'abscisse -1 et son point d'abscisse 1 (et on
va dans le « bon » sens).
Une paramétrisation de 'Y3 est donc
{
x(t) = t
y(t) = !(1- t)
t E [-1, 1].
On a x'(t) = 1 et y'(t) = -!, donc
K = /_
1
1 (o.l +t(-~)) dt= O.
(l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle centré en 0 est nulle).
Donc finalement
1
1
1=-+0+0=-.
2
2
Remarquons que I est égale à l'aire du triangle ABC, qui est la partie du plan
limitée par l'arc fermé -y. Nous verrons dans le prochain paragraphe que ce n'est
pas un hasard.
Exemple 3 : Soit à calculer l'intégrale curviligne I = i w de la forme différentielle w = P dx + Q dy le long de l'arc 'Y, avec les hypothèses suivantes.
y
P(x, y)= - 2
2
X +y
X
Q(x,y) = 2
2·
X +y
'Y est un arc simple fermé dont le support est le cercle trigonométrique, orienté
dans le sens direct.
On a vu que le choix de l'origine de 'Y est sans importance. Nous prendrons son
origine en A= (1, 0).
Est-ce que w est une forme différentielle exacte ? On a