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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE:
Donc w est fermée. Mais ici w est définie sur l'ouvert U = JR 2 \ { (0, 0)} qui n'est
pas étoilé. (Il n'est d'ailleurs pas possible de trouver un ouvert étoilé qui contienne
le support de 'Y et qui soit inclus dans l'ensemble de définition de w).
Il est donc impossible d'affirmer que w est exacte.
Remarquons qu'il est pour l'instant tout aussi impossible d'affirmer que w n'est
pas exacte : la proposition 4.34 (p.185} ne fonctionne que dans un sens.
Nous allons calculer « à la main » l'intégrale curviligne I.
Une paramétrisation de 'Y est
{
x(t) = cost
y(t) = sint
t E [O, 2 7r].
On a x' ( t) = - sin t et y' ( t) = cos t. En pratique, on écrira
puis
{
x=cost
y= sint
dx = -sint dt
dy = cost dt
t E [O, 27r],
I = 1 P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 1- 2 y 2 dx + 2 x 2 dy
'Y
'Y
X +y
X +y
1
27r (
sin t
cos t
)
=
-
( - sin t) +
cos t dt = 27r.
o
cos 2 t + sin 2 t
cos 2 t + sin 2 t
Puisque cette intégrale curviligne sur un arc fermé n'est pas nulle, cette fois on
est sûr que w n'est pas une forme différentielle exacte, bien qu'étant fermée.
Vous reverrez peut-être cet exemple très important lors des calculs de résidus, si
vous êtes amenés à travailler avec la « variable complexe » au niveau du master
de mathématiques.
4. 7 Utilisation des intégrales curvilignes pour des calculs d'aires
4.7.1 Énoncé de la formule
Nous allons admettre provisoirement, en attendant le prochain chapitre, le résultat
suivant qui est une conséquence de la formule de Green-Riemann (théorème 5.11,
p. 228). En effet, elle nous permettra de calculer des aires de parties de plan
limitées par des arcs simples fermés, ce qui est à peu près le cas général de ce
qu'on peut rencontrer en fait de calcul d'aire.
Théorème 4.36
Soit 'Y un arc simple fermé dont le support est parcouru dans le sens trigonométrique; alors l'aire de la partie de plan limitée par cet arc simple fermé est donnée
par la formule
A = i x dy = - i y dx = ~ i (x dy - y dx).