4.7 UTILISATION DES INTÉGRALES CURVILIGNES POUR DES CALCULS D'AIRES
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Remarque : Ce résultat admet en fait une propriété intuitivement évidente, mais
qui est très difficile à établir de façon rigoureuse : toute arc simple fermé de classe
ci (ou de classe ci par morceaux) sépare les points du plan en deux zones : l'une
bornée est l'intérieur de la boucle, l'autre, non bornée, en est l'extérieur.
Ici «intérieur» n'est pas à prendre au sens topologique, mais au sens commun :
partie du plan limitée par la boucle.
De même, lorsqu'on parle d'arc fermé, ce n'est pas au sens topologique que
« fermé » doit être compris. (On montre que le support de tout arc paramétré de
classe ci (ou de classe ci par morceaux) est fermé au sens topologique, mais un
arc n'est fermé que si il forme une boucle, et ce n'est un arc simple fermé que s'il
ne se recoupe pas : un «huit » n'est pas un arc simple fermé.)
Justification: nous ne pouvons pas encore démontrer cette formule, mais nous
allons au moins établir que les trois intégrales curvilignes intervenant dans cette
formule sont égales.
Si A=!, x dy, B = - /,y dx et C = ~ !, (x dy- y dx), on remarque que
C =~(A+ B), donc il suffit d'établir que A= B. or,
A - B = !, (x dy +y dx) = !, w = !, (P dx + Q dy).
.
8P
8Q
Avec P(x, y) =y et Q(x, y) = x. Il est clair que By = 1 = Bx, donc w est
une forme différentielle fermée, qui est définie sur l'ouvert IR. 2 qui est bien sûr
étoilé : w est donc exacte, et l'intégrale d'une forme différentielle exacte le long
d'un arc fermé est nulle. On a A - B = 0 donc A= B = C.
D
4.7.2 Un exemple important
Considérons une fonction f d'une variable réelle, à valeurs dans R On suppose
que f est de classe ci sur un intervalle [a, b], et pour simplifier, nous supposerons
que f(x) > 0 pour tout x E [a, b].
Chacun sait calculer l'aire de la partie de plan limitée par la courbe de f, {d'équation y= f(x)), l'axe des abscisses et les deux droites verticales x =a et x = b.
On sait que cette aire vaut A= 1b f(x) dx.
Nous allons essayer d'appliquer la formule précédente, et bien sûr de retrouver le
même résultat.
On appelle ' Y un arc fermé simple dont le support entoure la partie de plan dont
on cherche l'aire, et qui est orienté dans le sens trigonométrique.
On considère les points A = (a, 0), B = (b, 0), C = (b, f(b)) et D = (a, f(a)).
Ces quatre points sont tous sur le support de ' Y qui est un arc de classe ci par
morceaux. Choisissons A comme origine (et extrémité) de ' Y
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Remarque : Ce résultat admet en fait une propriété intuitivement évidente, mais
qui est très difficile à établir de façon rigoureuse : toute arc simple fermé de classe
ci (ou de classe ci par morceaux) sépare les points du plan en deux zones : l'une
bornée est l'intérieur de la boucle, l'autre, non bornée, en est l'extérieur.
Ici «intérieur» n'est pas à prendre au sens topologique, mais au sens commun :
partie du plan limitée par la boucle.
De même, lorsqu'on parle d'arc fermé, ce n'est pas au sens topologique que
« fermé » doit être compris. (On montre que le support de tout arc paramétré de
classe ci (ou de classe ci par morceaux) est fermé au sens topologique, mais un
arc n'est fermé que si il forme une boucle, et ce n'est un arc simple fermé que s'il
ne se recoupe pas : un «huit » n'est pas un arc simple fermé.)
Justification: nous ne pouvons pas encore démontrer cette formule, mais nous
allons au moins établir que les trois intégrales curvilignes intervenant dans cette
formule sont égales.
Si A=!, x dy, B = - /,y dx et C = ~ !, (x dy- y dx), on remarque que
C =~(A+ B), donc il suffit d'établir que A= B. or,
A - B = !, (x dy +y dx) = !, w = !, (P dx + Q dy).
.
8P
8Q
Avec P(x, y) =y et Q(x, y) = x. Il est clair que By = 1 = Bx, donc w est
une forme différentielle fermée, qui est définie sur l'ouvert IR. 2 qui est bien sûr
étoilé : w est donc exacte, et l'intégrale d'une forme différentielle exacte le long
d'un arc fermé est nulle. On a A - B = 0 donc A= B = C.
D
4.7.2 Un exemple important
Considérons une fonction f d'une variable réelle, à valeurs dans R On suppose
que f est de classe ci sur un intervalle [a, b], et pour simplifier, nous supposerons
que f(x) > 0 pour tout x E [a, b].
Chacun sait calculer l'aire de la partie de plan limitée par la courbe de f, {d'équation y= f(x)), l'axe des abscisses et les deux droites verticales x =a et x = b.
On sait que cette aire vaut A= 1b f(x) dx.
Nous allons essayer d'appliquer la formule précédente, et bien sûr de retrouver le
même résultat.
On appelle ' Y un arc fermé simple dont le support entoure la partie de plan dont
on cherche l'aire, et qui est orienté dans le sens trigonométrique.
On considère les points A = (a, 0), B = (b, 0), C = (b, f(b)) et D = (a, f(a)).
Ces quatre points sont tous sur le support de ' Y qui est un arc de classe ci par
morceaux. Choisissons A comme origine (et extrémité) de ' Y