192
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE:
On peut facilement décomposer 'Y= 'YI V "(2 V "(3 V "(4, avec
,,.--....
• 'YI =AB a comme support un segment horizontal parcouru de gauche à droite
(dans le « bon sens »)
,,.--....
• 'Y2 =BC a comme support un segment vertical parcouru de bas en haut (dans
le « bon sens »)
,,.--....
• ' Y3 =CD a comme support un morceau de la courbe de f, parcouru de droite à
gauche (nous verrons que c'est plutôt le « mauvais sens»)
,,.--....
• 'Y4 =DA a comme support un segment vertical parcouru de haut en bas.
Nous utiliserons les arcs ' Y3 et f,i inverses respectivement des arcs 'Y3 et "(4, pour
faciliter les calculs en se remettant dans le « bon sens ».
On a donc (choisissant la deuxième expression dans la formule du théorème 4.36) :
A = 1 (-y dx) = 1 (-y dx) + 1 (-y dx) + 1 (-y dx) + 1 (-y dx)
7
~
~
~
~
= 1 (-y dx) + 1 (-y dx) - C (-y dx) - C (-y dx)
71
72
}73
}74
=1 (-ydx)+1 (-ydx)+ c(ydx)+ c(ydx)=li+h+l3+l4.
~
~
.
~
~
Calcul de li= 1 (-y dx).
71
Une paramétrisation de 'YI est
On a dx = 1 dt, donc
{
x(t) = t
y(t) = 0
t E [a,b].
li= 1 (-y dx) = {b (-0 X 1) dt= Ü.
71
la
Calcul de 12=1 (-y dx).
72
Une paramétrisation de 'Y2 est
On a dx = 0 dt, donc
{ x(t) = b
y(t) = t
t E [O, f(b)].