4.7 UTILISATION DES INTÉGRALES CURVILIGNES POUR DES CALCULS D'AIRES
Calcul de Is = C (y dx).
l:ra
Une paramétrisation de ' Y3" est clairement
On a dx = 1 dt, donc
{
x(t) = t
y(t) = f(t)
t E [a,b].
ls = C (y dx) = 1b (J(t) x 1) dt= 1b f(x) dx.
~
a
a
Calcul de /4 = C (y dx).
Jy4
Une paramétrisation de ' Y4" est
On a dx = 0 dt, donc
{
x(t) =a
y(t) = t
t E [O, f(a)].
1 l o
f(b)
/4 = ~(y dx) =
(t X 0) dt= Ü.
1'4
0
Finalement, on obtient
A = 0 + 0 + 1b f ( x) dx + 0 = 1b f ( x) dx.
On a retrouvé le même résultat.
4.7.3 Méthode de calcul
193
Nous verrons que l'aire d'une partie de plan peut aussi se calculer à l'aide d'une
intégrale double. Avec la triple formule que nous avons ici cela fait au moins
quatre méthodes pour calculer une aire. Sans compter qu'en fait, on a
Corollaire 4.37 Soit w = P dx + Q dy une forme différentielle telle que ~Q -
&
X
By = 1, alors pour tout arc fermé simple 'Y orienté dans le sens trigonométrique,
l'aire de la partie de plan limitée par le support de 'Y est donnée par