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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Alors, devant toutes ces méthodes, laquelle choisir?
Lorsque l'intégrale double est facile à calculer, c'est la méthode qu'on choisira.
Mais pour une boucle de courbe paramétrée, c'est bien évidemment une des trois
formules du théorème 4.36 qu'on utilisera. Laquelle?
Paradoxalement, c'est assez souvent la troisième qui, bien qu'elle semble plus
compliquée, amène en fait le résultat avec le moins de calculs (il y a des exceptions,
comme pour ce qu'on vient de faire). Bien entendu, il n'y a aucune obligation
d'utiliser telle ou telle méthode, laissez-vous guider par votre intuition.
Voyons quelques exemples classiques :
Aire d'un disque
On considère un disque de centre n, de rayon p. Une paramétrisation d'un arc
fermé ' Y dont le support est la circonférence parcourue dans le sens direct est
{
x(t) = xn + pcost
y(t) = Yn + psint
t E [-7r, 7r].
On a dx = -p sin t dt et dy = p cos t dt de sorte que l'aire cherchée est
A=~ i (x dy-y dx) = ~ 1: ((xn + pcost)(pcost) - (Yn + psint)(-psint)) dt
= ! j?r ( ( xnp cos t + YnP sin t) + p 2 ) dt
2 -?r
= ~ [ ( xnp sin t - YnP cos t) + p 2 t J :?r = 11" p 2 .
On retrouve (heureusement !) le résultat classique.
Notons que si on avait utilisé la première ou la deuxième expression du théorème
4.36, le calcul aurait nécessité la linéarisation de cos 2 t ou de sin 2 t, qu'on a pu
éviter ici grâce à cette formule « mixte ».
Aire sous une arche de cycloïde
Une arche de cycloïde est la partie de la courbe
{
x=t-sint
y= 1- cost,
comprise entre deux points de rebroussement (voir exercice 2.1, p. 60 et son corrigé
p. 304).
La partie du plan dont on cherche l'aire est limitée par le support de l'arc 72
{
x(t) = t - sin t
y(t) = 1- cost
t E [O, 211"],