4.8 QUELQUES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES ARCS
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et l'axe des abscisses entre l'origine 0 et le point d'abscisse 27r, A= (27r; 0).
Le contour de cette zone est l'arc 'Y= 'Yl V 'Y2, avec 'Yl l'arc ayant comme support
~
le segment [OA], orienté de gauche à droite, et ' Y2 =AO, qui est l'arc inverse de
'Î2·
L'aire cherchée est donc donnée par
A = ~ 1 ( x dy - y dx) = ~ 1 ( x dy - y dx) + ~ 1 ( x dy - y dx)
'Y
'Yl
'Y2
= Ü - ! ~ (X dy - y dx).
2 }~2
La première intégrale curviligne, (le long de 'Yi) est nulle car sur l'axe des abscisses,
on a y et dy qui sont nuls.
Sur ' Y2 on a dx = (1 - cos t) dt et dy =sin t dt donc
1 1271"
A= -((t - sin t) sin t - (1 - cost)(l - cost)) dt
2 0 .
1 rk
1
k
= - 2 lo ( t sin t - 2 + 2 cos t) dt = - 2 [sin t - t cos t - 2t + 2 sin t] 0
1
A= --(-27f - 47r) = 37f.
2
Remarquons qu'on trouve (heureusement) un résultat positif. Si lors d'un calcul
d'aire, votre résultat est négatif, c'est que vous avez fait une erreur quelque part,
sans doute lors de l'orientation des arcs.
4.8 Quelques propriétés métriques des arcs
4.8.1 Longueur d'un arc de courbe
Dans la situation du§ 4.1.3, on peut remarquer que l'approximation proposée pour
~
la longueur d'un arc de courbe AB, somme des n longueurs de segments [Mi-lMi]
est toujours une approximation par défaut, à cause du principe couramment
admis que la ligne droite est le plus court chemin entre deux points. En effet,
~
intuitivement, il est clair que la longueur totale .C(AB) est égale à la somme des
~
longueurs des n «sous-arcs » Mi-1Mi.
i=l
i=l
Avec ce qu'on a appris sur les arcs, il est logique de considérer une paramétrisation
P1 = ([a, b], f) de l'arc que l'on considère, et pour couper en n cet arc, il sera plus
simple de considérer une subdivision u du segment [a, b].