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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Rappelons qu'une subdivision de [a, b] est la donnée d'un entier net d'une suite
finie a= to < tt < · · · < tn-t < tn = b. On notera S l'ensemble des subdivisions
de [a, b].
On pose alors logiquement :
,,-....,
Définition 4.38 Soit ' Y =AB un arc simple paramétré de classe et, et Pt ::::::
([a, b],f) une paramétrisation de 'Y·
Pour toute subdivision cr : a= to < tt < · · · < tn-t < tn = b de [a, b], on pose
i=t
i=t
,..........
(en posant Mi= f(ti)) : .CCT(AB) est la longueur de la ligne brisée joignant A à B
en passant par tous les points correspondant à la subdivision cr.
Alors la longueur de ' Y est
,,-....,
,..........
.C('Y) = .C(AB) = sup.CCT(AB)
CTES
(sous réserve que ce sup existe; il peut être infini et dans ce cas, on dit que l'arc
,,-....,
AB a une longueur infinie). Les arcs qui n'ont pas une longueur infinie sont des
arcs métrisables.
Il faudrait bien sûr montrer tout d'abord que cette définition ne dépend pas de
la paramétrisation choisie. Nous ne le ferons pas en détail, en nous contentant
de remarquer que si on change de paramétrisation, l'application

croissante qui doit intervenir transformera toute subdivision cr de l'intervalle [a, b]
initial en une subdivision du nouvel intervalle. En fait seuls comptent les points
Mi formant une subdivision de l'arc géométrique, la subdivision de l'intervalle
[a, b] n'étant qu'un artifice de calcul pour la suite.
,,-....,
Nous admettrons aussi que l'arc inverse 19 =BA a évidemment la même longueur
que 'Y·
,,-....,
,,-....,
De même, nous admettrons la « relation de Chasles » : si /t =AB, 12 =BC sont
deux arcs paramétrés de classe et, et si/= /t V /2, alors
Cette relation de Chasles permet, en itérant le procédé, de définir la longueur
d'un arc paramétré de classe et par morceaux.
En fait le théorème important pour cette notion de longueur d'un arc est le suivant
qui permet de calculer cette longueur dans un certain nombre de cas.