4.8 QUELQUES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES ARCS
,..--...,
Théorème 4.39 Soit ' Y =AB un arc paramétré simple de classe C 1 et P 1
([a, b], !) une paramétrisation de 'Y· Alors la longueur de ' Y est
.C('Y) = 1b JJJ'(r)ll dr = 1b V(x'(r)) 2 + (y'(r)) 2 dr.
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Preuve Tout d'abord, notons que pour toute subdivision O" : a = to < t1 <
.. · < tn-I < tn = b de [a, b], pour tout i, on a
(cette formule est classique pour les fonctions réelles et pour les fonctions vectorielles, il suffit de passer aux fonctions composantes; voir la proposition 4.2
p. 165)
On en déduit que
(on a utilisé la proposition 4.3 p. 166).
On en déduit
i=l
i=l
: : : ; t lti 11/'(r)JJ dr = 1b llf'(r)ll dr.
i=l ti-1
a
1
b
~
L = a 11/'(r)JI dr est donc un majorant de l'ensemble des .Cu(AB) pour toutes
les subdivisions O" E S, et comme la borne supérieure (le sup) de cet ensemble est
le plus petit de ses majorants, c'est donc un nombre plus petit que L :
, . . - - . . . ,
~
1b
.C('Y) = .C(AB) = sup.Cu(AB) :::; L =
11/'(r)ll dr
uES
a
La deuxième partie de cette démonstration ressemble beaucoup à celle qu'on fait
lorsqu'on montre comment une intégrale peut se calculer à l'aide des primitives.
On considère la fonction l'arc (sous-arc de 1) joignant A à Mt= f(t).
,..--...,
On va montrer que par la même occasion. Comme il est clair que