198
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
,-----.
,-----.
est obligé de l'admettre: la longueur del'« arc-point» AMa=AA est nulle), on
pourra calculer comme primitive de sa dérivée.
Pour montrer la dérivabilité de cette fonction, on peut (par définition) montrer
que pour tout t 0 , le quotient T = (t) - (to) a une limite finie et cette limite
t- to
finie sera justement '(to).
Or, (t)-(to) représente exactement la longueur de l'arc compris entre les points
Mt 0 = f(to) et Mt = f(t). En fait, pas exactement, : cela dépend de l'ordre entre
t et t 0 ; en effet, il est clair que est une fonction croissante, donc
,-----.
• si t > to, alors (t) - (to) = .C(Mt 0 Mt)
,-----.
• si t < to, alors (t) - (to) = -.C(MtMt 0 ).
Dans le premier cas ( t > to), on a
,-----.
(t) - (to) = .C(Mt0 Mt) ~ Mt0 Mt = llf(t) - f(to)ll·
D'autre part, on peut appliquer la première partie de la démonstration entre t 0 et
t, et on a donc
,-----.
1t
1t
1
t 0
(t) - (to) = .C(Mt 0 Mt) :::;:; llf'(r)ll dr = llJ'(r)ll dr -
llJ'(r)ll dr.
~
a
a
Posant g(t) = 1t llf'(r)ll dr, on a donc l'encadrement
llf(t) - f(to)ll :::;:; (t) - (to):::;:; g(t) - g(to).
Divisant par le nombre positif (t - t0 ) (positif dans ce premier cas, il sera négatif
dans le deuxième) on obtient
(4.5)
I l
f(t) - f(to) I l = llf(t) - f(to) Il :::;:; (t) - (to) : : : ; : ; g(t) - g(t0 ).
t - to
t - to
t - to
t - to
Mais lorsque t --+ t6 (t > to), le membre de droite tend vers g'(to). En effet, la
fonction g (c'est une fonction réelle de la variable réelle) est dérivable et sa dérivée
est g'(t) = llf'(t)ll, car par définition g est une primitive de la fonction continue
t t---+ llJ'(t)ll·
. g(t) - g(to)
On a donc hm
= llJ'(to)ll.
t-tto
t - t 0
t>to
Quant au membre de gauche, le quotient dans la norme tend vers f'(to), par
définition de la dérivabilité d'une fonction vectorielle. La norme étant une fonction
continue, on peut affirmer qu'on a aussi lim I l f(t) - f(to) Il= llf'(to)ll·
t-tto
t - to
t>to