4,8 QUELQUES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES ARCS
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Finalement, dans (4.5), les membres extrêmes ayant la même limite, on peut
appliquer le théorème des gendarmes, et on obtient que le membre du milieu a
aussi pour limite llf'(to)ll.
On a obtenu
lim t-tto
t - to
t>to
Dans le deuxième cas (t < to), on a
~
~
Or, .C(MtMt0 ) ~ MtMto = 11/(t) - f(to)ll·
Donc D'autre part, en appliquant encore la première partie de la démonstration à la
~
longueur de l'arc MtMt 0 , on a
~
rto
.C(MtMt0 ):::;; lt llf'(T)ll dT = g(to) - g(t).
On a donc
~
Donc on en déduit l'encadrement (similaire à ce qu'on avait précédemment)
g(t) - g(to) :::;; On va encore diviser ceci par (t - to) qui est ici un nombre négatif : on change
donc le sens des inégalités.
On obtient
g(t) - g(to) llf(t) - f(to)ll
---'--'-----'----'- ~
~ -
.
t - to
t - to
t - to
Mais on a
_ llf(t) - f(to)ll = 11/(t) - f(to)ll = I l f(t) - f(to) Il= I l f(t) - f(to) Il·
t-to
to-t
to-t
t-to
On obtient finalement
(4.6)
_g(t_) _-g_(t_o) ~ t - to
t - to
t - to
Le même raisonnement que dans le premier cas s'applique aux termes extrêmes,
qui ont aussi, pour les mêmes raisons llf'(to)ll comme limite pour t---+ t 0 (t < to),
et finalement, on obtient grâce au théorème des gendarmes
lim t-tto
t - to
t