200
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Ayant obtenu que la limite à droite de t 0 et la limite à gauche de t 0 de t - to
sont égales et valent llf'(to)ll, on peut affirmer que
lim t-+to
t - t 0
Donc On a donc pour tout t, puisque En particulier pour t = b, on obtient
~
1b
C("f) = C(AB) = 0
Remarque : Cette formule a l'air très intéressante et permet en théorie de
calculer n'importe quelle longueur d'arc de courbe. En théorie seulement. En
pratique, c'est souvent très compliqué à cause de l'expression qu'on doit intégrer.
Il est en effet la plupart du temps difficile et même impossible de trouver une
primitive d'une expression sous la forme d'un radical.
Il y a assez peu d'exemples où on peut trouver une valeur explicite, et très
souvent, on doit se contenter d'une valeur approchée calculée avec une méthode
d'intégration numérique.
Voyons un exemple où les calculs se simplifient « miraculeusement ».
Exemple: longueur d'une arche de cycloïde
Une paramétrisation d'une arche de cycloïde est (voir exercice 2.1, p. 60 et son
corrigé p. 304).
{
x(t) = t - sin t
y(t) = 1- cost
On a x'(t) = 1 - cos t et y'(t) =sin t.
La longueur de cet arc est donc
t E [O, 211' ]
{21r
{27r
c = lo v(l- cost) 2 +sin 2 t dt= lo v'2-2cost dt
4
2 dt = 2
sin 2 ! dt
1 - cos(2 ! )
lo27r ~
2
0
2