4.8 QUELQUES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES ARCS
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Notons ici le petit piège : il faut dans ce type de calcul éviter de remplacer ..JX2
par X sans prendre des précautions. Ici, ça n'aurait pas de conséquence néfaste,
puisque lorsque t E [O, 271'], on a ~ E [O, 7r] et donc sin~ ~ 0, mais il y a pas mal
de cas où on peut faire une erreur si on n'est pas attentif (voir exercices).
On peut donc ici terminer ainsi :
1l"
1l"
-cos2
2
[
t l 21l"
C=2fo lsin~ldt=2fo sin~dt=2 112
2
0
= 4(-cos 2 ; - (-cosO)) = 4(1+1) = 8.
On aurait aussi pu obtenir ce résultat en utilisant la symétrie de l'arche par
rapport à la droite verticale x = 71' , et donc dire que la longueur était égale à 2
fois la longueur d'une demi-arche, pour laquelle le paramètre t reste entre 0 et 71' ,
et donc on a aussi sin~ ~O.
4.8.2 Paramétrisation normale
~
Lorsqu'un arc ' Y =AB est métrisable, il est possible de privilégier parmi toutes
les paramétrisations possibles de cet arc une certaine paramétrisation : c'est
celle qui mesure la distance parcourue sur la courbe.depuis l'origine A. Une telle
paramétrisation est dite la paramétrisation normale de cet arc.
Précisons les choses. Si P1 =.([a, b], !) est une paramétrisation de"(, à tout point
~
Mt = f(t) du support de "(, on peut faire correspondre le réel
~
est une fonction dérivable, et sa dérivée est llf'(t)ll > 0 (l'inégalité est stricte car
on a supposé que l'arc était simple). classe C 1 entre [a, b] et [O, ,B]. La bijection réciproque
• [a, b] est inclus dans le domaine de définition de •
• Vt E [a, bj 0.
• Vt E [a, b] si
La paramétrisation P = ([O, ,B], g) est donc une paramétrisation équivalente à
P1 : c'est donc aussi une paramétrisation de ' Y et c'est elle que l'on appelle la
paramétrisation normale de 'Y· Il est d'usage de noter s le paramètre de cette
paramétrisation.
La possibilité de choisir une paramétrisation normale pour un arc est bien souvent
très théorique, car expliciter cette paramétrisation normale implique de connaître
la longueur de cet arc, et on a vu que c'est souvent «mission impossible».
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Notons ici le petit piège : il faut dans ce type de calcul éviter de remplacer ..JX2
par X sans prendre des précautions. Ici, ça n'aurait pas de conséquence néfaste,
puisque lorsque t E [O, 271'], on a ~ E [O, 7r] et donc sin~ ~ 0, mais il y a pas mal
de cas où on peut faire une erreur si on n'est pas attentif (voir exercices).
On peut donc ici terminer ainsi :
1l"
1l"
-cos2
2
[
t l 21l"
C=2fo lsin~ldt=2fo sin~dt=2 112
2
0
= 4(-cos 2 ; - (-cosO)) = 4(1+1) = 8.
On aurait aussi pu obtenir ce résultat en utilisant la symétrie de l'arche par
rapport à la droite verticale x = 71' , et donc dire que la longueur était égale à 2
fois la longueur d'une demi-arche, pour laquelle le paramètre t reste entre 0 et 71' ,
et donc on a aussi sin~ ~O.
4.8.2 Paramétrisation normale
~
Lorsqu'un arc ' Y =AB est métrisable, il est possible de privilégier parmi toutes
les paramétrisations possibles de cet arc une certaine paramétrisation : c'est
celle qui mesure la distance parcourue sur la courbe.depuis l'origine A. Une telle
paramétrisation est dite la paramétrisation normale de cet arc.
Précisons les choses. Si P1 =.([a, b], !) est une paramétrisation de"(, à tout point
~
Mt = f(t) du support de "(, on peut faire correspondre le réel
~
est une fonction dérivable, et sa dérivée est llf'(t)ll > 0 (l'inégalité est stricte car
on a supposé que l'arc était simple). classe C 1 entre [a, b] et [O, ,B]. La bijection réciproque
• [a, b] est inclus dans le domaine de définition de •
• Vt E [a, b] si
P1 : c'est donc aussi une paramétrisation de ' Y et c'est elle que l'on appelle la
paramétrisation normale de 'Y· Il est d'usage de noter s le paramètre de cette
paramétrisation.
La possibilité de choisir une paramétrisation normale pour un arc est bien souvent
très théorique, car expliciter cette paramétrisation normale implique de connaître
la longueur de cet arc, et on a vu que c'est souvent «mission impossible».