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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Néanmoins l'existence de cette paramétrisation normale rend de grands services
pour un certain nombre de situations, par exemple pour définir la notion de
courbure, et aussi pour l'intégration d'une fonction scalaire sur un arc.
4.8.3 Courbure
D'un point de vue cinématique, un point mobile qui parcourrait un arc en suivant
une paramétrisation normale aurait à tout instant une vitesse instantanée absolue
constante et égale à 1.
En effet, la vitesse instantanée est V(s) = llg'(s)ll· Mais puisque g = f o
Le vecteur V ( s) = g' ( s) est donc unitaire; on l'appelle le vecteur unitaire tangent
et on le note f' 8 ou plus simplement f' s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Il existe un unique vecteur ;J (on lit « nu ») qui est tel que ( f', ;J) forme une base
orthonormée directe. Ce vecteur est le vecteur normal principal v.
L'intérêt de ce parcours à vitesse constante vient d'une remarque de bon sens : à
vitesse constante, plus un virage est serré, et plus on est « secoué ». Mathématiquement, être secoué signifie qu'on est soumis à une force, forcément centripète pour
pouvoir prendre le virage, proportionnelle à l'accélération. C'est ce raisonnement
qui est à l'origine de la notion de courbure, qui mesure comment un virage est
serré. Notons (voir proposition 2.10 p. 35) que puisque le mouvement n'est ni
retardé, ni accéléré, on a V(s) · A(s) = 0 (notant A(s) = g"(s) l'accélération).
L'accélération est donc à tout instant orthogonale à V(s) = g'(s) = f', et donc
proportionnelle à ;J. C'est ce coefficient de proportionnalité qui est la courbure.
,,--...._
Définition 4.40 Soit 'Y =AB un arc simple paramétré de classe C 1 et P =
( [O, ,B], g) sa paramétrisation normale.
Alors la courbure de 'Y en son point g(s) est égale au réel c tel que g"(s) = cv.
Cette définition semble sans grand intérêt ; en effet, si on ne connaît pas la
paramétrisation normale, comment calculer sa dérivée, et a fortiori sa dérivée
seconde?
En fait, comme nous allons le voir, il n'est pas nécessaire de connaître la paramétrisation normale d'un arc pour déterminer sa courbure en un de ses points,
comme le montre ce théorème. (On suppose que l'arc est de classe C 2 , ce qui
signifie que ses paramétrisations sont aussi de classe C 2 , n'entrons pas dans les
détails).
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Néanmoins l'existence de cette paramétrisation normale rend de grands services
pour un certain nombre de situations, par exemple pour définir la notion de
courbure, et aussi pour l'intégration d'une fonction scalaire sur un arc.
4.8.3 Courbure
D'un point de vue cinématique, un point mobile qui parcourrait un arc en suivant
une paramétrisation normale aurait à tout instant une vitesse instantanée absolue
constante et égale à 1.
En effet, la vitesse instantanée est V(s) = llg'(s)ll· Mais puisque g = f o
Le vecteur V ( s) = g' ( s) est donc unitaire; on l'appelle le vecteur unitaire tangent
et on le note f' 8 ou plus simplement f' s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Il existe un unique vecteur ;J (on lit « nu ») qui est tel que ( f', ;J) forme une base
orthonormée directe. Ce vecteur est le vecteur normal principal v.
L'intérêt de ce parcours à vitesse constante vient d'une remarque de bon sens : à
vitesse constante, plus un virage est serré, et plus on est « secoué ». Mathématiquement, être secoué signifie qu'on est soumis à une force, forcément centripète pour
pouvoir prendre le virage, proportionnelle à l'accélération. C'est ce raisonnement
qui est à l'origine de la notion de courbure, qui mesure comment un virage est
serré. Notons (voir proposition 2.10 p. 35) que puisque le mouvement n'est ni
retardé, ni accéléré, on a V(s) · A(s) = 0 (notant A(s) = g"(s) l'accélération).
L'accélération est donc à tout instant orthogonale à V(s) = g'(s) = f', et donc
proportionnelle à ;J. C'est ce coefficient de proportionnalité qui est la courbure.
,,--...._
Définition 4.40 Soit 'Y =AB un arc simple paramétré de classe C 1 et P =
( [O, ,B], g) sa paramétrisation normale.
Alors la courbure de 'Y en son point g(s) est égale au réel c tel que g"(s) = cv.
Cette définition semble sans grand intérêt ; en effet, si on ne connaît pas la
paramétrisation normale, comment calculer sa dérivée, et a fortiori sa dérivée
seconde?
En fait, comme nous allons le voir, il n'est pas nécessaire de connaître la paramétrisation normale d'un arc pour déterminer sa courbure en un de ses points,
comme le montre ce théorème. (On suppose que l'arc est de classe C 2 , ce qui
signifie que ses paramétrisations sont aussi de classe C 2 , n'entrons pas dans les
détails).