4.8 QUELQUES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES ARCS
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Théorème 4.41 Soit 'Y un arc simple paramétré de classe C 2 et P1 = ([a, b], f)
une de ses paramétrisations. Alors la courbure de cet arc en son point Mt = f(t)
est donnée par la formule (x et y désignant les fonctions composantes de f)
x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t)
det(f'(t), f"(t))
det(V(t), A (t))
c -
-
- ------=-,.-,------ ([x'(t)J2 + [y'(t)J2)~ -
iif'{t)il 3
-
V 3 (t)
.
det désigne le déterminant des deux vecteurs (ou produit mixte), qui peut être
calculé dans n'importe quelle base orthonormée directe.
Preuve On va utiliser pour cette démonstration, sans la calculer, la paramétrisation normale P = ([O,,B],g) de/, et les notations du§ précédent, pour s = (t).
On va calculer det(f'(t), f"(t)) en utilisant que f =go Tout d'abord, on a f'(t) = produit coordonnée par coordonnée, on en déduit que
!" ( t) = En utilisant maintenant que (t) = s, et que g'(s) = f et g"(s) = cv, on obtient
d'une part:
f'(t) = et d'autre part
J"(t) = Un déterminant peut se calculer dans n'importe quelle base orthonormée directe,
on va faire le calcul avec les coordonnées de f 1 ( t) et f" ( t) dans la base ( f, ;J). On
a donc
'
0
( Mais souvenons-nous que résultat plus tôt, car le terme attendu sa disparition qui tombe à pic) On a donc det(f'(t), f"(t)) = c llf'(t)ll 3
d'où le résultat annoncé.
D
Remarque : Cette formule permet de retrouver un résultat qu'on avait juste
expliqué, mais pas démontré lors du chapitre 2 : la présence d'un point d'inflexion
sur une courbe paramétrée. D'après ce qu'on vient de voir, un point où il y a
un virage à gauche est tel que sa courbure est positive, et un virage à droite
correspond à une courbure négative.
En effet, pour que la base ( f, ;J) soit directe, f étant dans le sens de la marche, il
faut que ;J « regarde à gauche » ; l'accélération est du côté de l'intérieur du virage,